选择性必修第一册 第二章 直线和圆的方程

人教A版（2019）选择性必修第一册 · 河南高二。
解析几何从这一章起步，直线的斜率、方程和圆的位置关系是后面圆锥曲线的地基。高考里常以直线与圆相交求弦长、过定点求切线出现，计算不难，但结论和分类要准。

1 知识点总结

1.1 直线的倾斜角与斜率

直线向上的方向与 $x$ 轴正方向的夹角叫倾斜角 $\alpha$，$\alpha\in[0,\pi)$。当 $\alpha=90^\circ$ 时直线与 $x$ 轴垂直，斜率不存在。

斜率 $k=\tan\alpha$（$\alpha\ne90^\circ$）。经过两点 $P_1(x_1,y_1)$，$P_2(x_2,y_2)$ 的直线

$$ k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\quad(x_1\ne x_2) $$

当 $x_1=x_2$ 时斜率不存在，不能硬套公式。斜率与倾斜角一一对应：$\alpha$ 为锐角时 $k>0$，$\alpha$ 为钝角时 $k<0$，$\alpha=0$ 时 $k=0$。$\alpha$ 从 $0$ 增大到 $90^\circ$，$k$ 从 $0$ 增到 $+\infty$；$\alpha$ 从 $90^\circ$ 增大到 $180^\circ$，$k$ 从 $-\infty$ 增到 $0$。

两条直线平行等价于斜率相等或都不存在；垂直等价于斜率乘积为 $-1$，或一条斜率为 $0$、另一条斜率不存在。若用 $k_1k_2=-1$ 判定垂直，前提是两直线斜率都存在，遇到竖直线要单独看。

1.2 直线的方程

点斜式和斜截式都要求斜率存在，碰到竖直线要单独写成 $x=x_0$。截距式的 $a,b$ 都不为零，横纵截距为零的直线要用其他形式。

一般式下，两条直线 $A_1x+B_1y+C_1=0$ 与 $A_2x+B_2y+C_2=0$ 平行的条件是 $A_1B_2-A_2B_1=0$ 且截距不等，垂直的条件是 $A_1A_2+B_1B_2=0$。结果通常整理成一般式，方便后续代入距离公式。

例 1 求过点 $A(-1,2)$ 与 $B(3,-2)$ 的直线方程。

解：由两点斜率公式

$$ k=\frac{-2-2}{3-(-1)}=\frac{-4}{4}=-1 $$

取点 $A$ 用点斜式 $y-2=-1\cdot(x+1)$，整理得

$$ x+y-1=0 $$

1.3 直线的交点坐标与距离公式

联立两直线方程即可求交点，交点就是方程组的解。两条直线是否有交点，取决于方程组是否有解。

两点间距离

$$ |P_1P_2|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} $$

点 $P_0(x_0,y_0)$ 到直线 $Ax+By+C=0$ 的距离

$$ d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} $$

两条平行线 $Ax+By+C_1=0$ 与 $Ax+By+C_2=0$ 的距离

$$ d=\frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}} $$

用平行线距离公式前，必须先把两个方程里 $x,y$ 的系数化成完全相同，否则两式相减没有意义。

例 2 求点 $P(2,-1)$ 到直线 $3x+4y-3=0$ 的距离，并求过 $P$ 且与该直线平行的直线方程。

解：由点线距公式

$$ d=\frac{|3\times2+4\times(-1)-3|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|6-4-3|}{5}=\frac15 $$

平行线斜率相同，设所求直线为 $3x+4y+m=0$，代入 $P(2,-1)$ 得 $6-4+m=0$，即 $m=-2$，所求直线为 $3x+4y-2=0$。

求两直线的交点，就是把两个方程联立求解。点关于直线的对称、直线关于点的对称，都可以先用垂直和中点这两个条件列出方程，不必硬记公式。

1.4 圆的方程

标准方程：圆心 $(a,b)$、半径 $r>0$ 的圆

$$ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 $$

一般方程 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$，配方得

$$ \left(x+\frac D2\right)^2+\left(y+\frac E2\right)^2=\frac{D^2+E^2-4F}{4} $$

当 $D^2+E^2-4F>0$ 时它表示圆，圆心 $\left(-\dfrac D2,-\dfrac E2\right)$，半径 $r=\dfrac12\sqrt{D^2+E^2-4F}$；等于 $0$ 时只表示一个点；小于 $0$ 时不表示任何图形。

求圆的方程一般用待定系数法。已知圆心或半径用标准式，已知圆上三点用一般式。判断一个方程是不是圆，先看 $x^2$ 与 $y^2$ 的系数是否相等且不为零，再检验判别式。

例 3 求圆 $x^2+y^2-4x+6y-3=0$ 的圆心坐标与半径。

解：对 $x,y$ 分别配方

$$ (x^2-4x+4)+(y^2+6y+9)=3+4+9=16 $$

即

$$ (x-2)^2+(y+3)^2=16 $$

所以圆心为 $(2,-3)$，半径 $r=4$。

1.5 直线与圆、圆与圆的位置关系

直线与圆的位置关系看圆心到直线的距离 $d$ 与半径 $r$ 的大小：

• $d<r$：相交，两个公共点；
• $d=r$：相切，一个公共点；
• $d>r$：相离，没有公共点。

相交时弦长由半径、弦心距和半弦构成的直角三角形给出：

$$ |AB|=2\sqrt{r^2-d^2} $$

两圆位置关系设圆心距 $d$，半径 $r_1,r_2$（不妨 $r_1\ge r_2$）：

切线问题要分点在哪里。点在圆上，用「圆心与切点的连线垂直于切线」；点在圆外，切线一般有两条，设点斜式时容易漏掉斜率不存在的那条竖直线。

判断直线与圆的位置，可以直接比较圆心到直线的距离与半径，也可以联立方程看判别式的符号。两种方法都要会，前者快，后者能处理更一般的曲线。

例 4 求直线 $3x-4y+5=0$ 被圆 $x^2+y^2=16$ 截得的弦长。

解：圆心为 $(0,0)$，半径 $r=4$。圆心到直线的距离

$$ d=\frac{|0-0+5|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=\frac55=1 $$

由弦长公式

$$ |AB|=2\sqrt{r^2-d^2}=2\sqrt{16-1}=2\sqrt{15} $$

例 5 过点 $P(2,3)$ 作圆 $x^2+y^2=4$ 的切线，求切线方程。

解：$2^2+3^2=13>4$，点 $P$ 在圆外，应有两条切线。

当切线斜率不存在时，直线为 $x=2$。圆心 $(0,0)$ 到它的距离为 $2$，等于半径，所以 $x=2$ 是一条切线。

当切线斜率存在时，设切线 $y-3=k(x-2)$，即 $kx-y-2k+3=0$。由圆心到切线距离等于半径，

$$ \frac{|-2k+3|}{\sqrt{k^2+1}}=2 $$

两边平方：$(3-2k)^2=4(k^2+1)$，展开得 $9-12k+4k^2=4k^2+4$，即 $12k=5$，$k=\dfrac{5}{12}$。代回得切线 $5x-12y+26=0$。

所以两条切线为 $x=2$ 与 $5x-12y+26=0$。

2 易错题总结

2.1 易错典型题

题 1 已知直线 $l$ 过点 $A(1,2)$，且在两坐标轴上的截距相等，求 $l$ 的方程。

错法：设截距式 $\dfrac xa+\dfrac ya=1$，代入 $A(1,2)$ 得 $\dfrac1a+\dfrac2a=1$，解得 $a=3$，于是 $l$ 的方程为 $x+y-3=0$。少了一种情况。

正解：截距相等要分两种情形讨论。

截距不为零时，用截距式，同上得 $x+y-3=0$。

截距为零时，直线过原点，设 $y=kx$，代入 $A(1,2)$ 得 $k=2$，方程为 $y=2x$，即 $2x-y=0$。

所以满足条件的直线有两条：$x+y-3=0$ 与 $2x-y=0$。

要点：截距式 $\dfrac xa+\dfrac yb=1$ 要求 $a,b$ 都不为零，遇到截距相等或相反，先讨论截距为零这一支，否则会漏解。

题 2 求过点 $M(-1,3)$ 且与圆 $C:(x-2)^2+(y-1)^2=5$ 相切的直线方程。

错法：直接设切线 $y-3=k(x+1)$，以为相切只对应一个斜率，求出一个 $k$ 就写出一条直线收工。

正解：先判断点 $M$ 的位置。$(-1-2)^2+(3-1)^2=9+4=13>5$，$M$ 在圆外，应有两条切线。

斜率不存在时，直线为 $x=-1$。圆心 $(2,1)$ 到它的距离为 $3$，而半径 $\sqrt5$，$3\ne\sqrt5$，这条不是切线。

斜率存在时，设切线 $y-3=k(x+1)$，即 $kx-y+k+3=0$。由

$$ \frac{|2k-1+k+3|}{\sqrt{k^2+1}}=\sqrt5 $$

即 $\dfrac{|3k+2|}{\sqrt{k^2+1}}=\sqrt5$。平方得 $(3k+2)^2=5(k^2+1)$，整理得 $4k^2+12k-1=0$，解得两个不同的 $k$，对应两条切线。这里不必算到底，关键是别漏掉斜率不存在的那条。

要点：过圆外一点的切线有两条，用「点斜式 + 距离等于半径」可以一次求出斜率存在的那些；斜率不存在的情况要单独验证，判断点在圆内、圆上还是圆外是第一步。