空间向量与立体几何 · 拓展与经典例题

人教A版（2019）选择性必修第一册 第一章 · 河南高二。
这页把用向量处理立体几何的一套流程收齐：怎么建系、怎么求法向量、四类角与距离的公式，最后配几道典型题。做题时先判断图形能不能建系，能建系就尽量用坐标算，比纯几何推理稳。

1 核心方法梳理

1.1 建系的时机

立体几何大题优先看有没有三条两两垂直的棱（或能作出的垂直关系）。出现下列结构，通常可以直接建系：

• 长方体、正方体，或三棱柱里侧棱垂直于底面；
• 底面是矩形、正方形、等腰三角形且某条棱垂直于底面；
• 题目已给出"某棱垂直于底面""平面某某垂直平面某某"这类条件。

没有现成的直角，就先在图形里作出辅助线凑出三条两两垂直的直线，再以交点为原点。建系前要在图上交代清楚原点、坐标轴分别沿哪条棱，单位长度取多少。

1.2 建系的步骤

1. 找（或作出）两两垂直的三条直线，交点为原点 $O$；
2. 定 $x$、$y$、$z$ 轴的正方向，尽量让大多数点落在坐标轴或坐标平面上；
3. 写出各关键点的坐标，底面多在 $xOy$ 平面，$z$ 轴朝上；
4. 把要证的结论翻译成向量运算。

1.3 空间向量基本定理

若 $\vec a,\vec b,\vec c$ 是三个不共面的向量，则空间中任一向量 $\vec p$ 都可唯一表示为

$$ \vec p=x\vec a+y\vec b+z\vec c $$

$\{\vec a,\vec b,\vec c\}$ 叫空间的一组基。取坐标轴方向上的单位向量的那组基，就得到坐标表示，所以坐标法是基本定理的特例。共面向量定理：$\vec p$ 与 $\vec a,\vec b$（$\vec a,\vec b$ 不共线）共面的充要条件是存在实数 $x,y$，使 $\vec p=x\vec a+y\vec b$。

2 拓展知识

2.1 用坐标法证平行与垂直

设直线 $l_1,l_2$ 的方向向量为 $\vec u,\vec v$，平面 $\alpha,\beta$ 的法向量为 $\vec n_1,\vec n_2$。

用 $\vec u\parallel\vec n_1$ 证线面垂直时，别漏了"直线不在平面内"或"直线与平面有公共点"这类前提；证平行时也要排除线在面内的情况。

2.2 求法向量的步骤

平面内取两个不共线的向量 $\vec a,\vec b$，设法向量 $\vec n=(x,y,z)$，解方程组

$$ \begin{cases}\vec n\cdot\vec a=0\\ \vec n\cdot\vec b=0\end{cases} $$

两个方程三个未知数，有无数组解。一般令其中一个分量取 $1$ 或其他便于计算的值，再解出另外两个，最后把三个分量同乘一个数化成最简整数比。法向量不能取零向量，代入时要检查分量不全为零。若算出某分量必须为零，就改令另一个分量取 $1$。

2.3 异面直线所成角

设两条异面直线的方向向量为 $\vec a,\vec b$，所成角为 $\theta$，则

$$ \cos\theta=\frac{|\vec a\cdot\vec b|}{|\vec a||\vec b|},\qquad \theta\in\Bigl(0,\frac{\pi}{2}\Bigr] $$

空间向量夹角 $\langle\vec a,\vec b\rangle$ 的范围是 $[0,\pi]$，而两直线所成角不超过 $\dfrac{\pi}{2}$，所以必须取绝对值。算出的余弦值为负时，直接取相反数。

2.4 直线与平面所成角

设直线 $l$ 的方向向量为 $\vec d$，平面 $\alpha$ 的法向量为 $\vec n$，$l$ 与 $\alpha$ 所成角为 $\theta$，则

$$ \sin\theta=\frac{|\vec n\cdot\vec d|}{|\vec n||\vec d|} $$

这里用 $\sin$ 而非 $\cos$，因为 $\vec d$ 与 $\vec n$ 的夹角和线面角互余。线面角范围是 $\Bigl[0,\dfrac{\pi}{2}\Bigr]$，所以同样取绝对值。

2.5 二面角

设二面角 $\alpha\text{-}l\text{-}\beta$ 的两个半平面对应法向量为 $\vec n_1,\vec n_2$，则

$$ \cos\langle\vec n_1,\vec n_2\rangle=\frac{\vec n_1\cdot\vec n_2}{|\vec n_1||\vec n_2|} $$

二面角的平面角 $\theta$ 与 $\langle\vec n_1,\vec n_2\rangle$ 要么相等，要么互补，取决于两个法向量是同时指向二面角内部还是指向两侧。做题时先看图：两个法向量都朝里或都朝外，则 $\theta=\langle\vec n_1,\vec n_2\rangle$；一里一外，则 $\theta=\pi-\langle\vec n_1,\vec n_2\rangle$。算完余弦值后要结合图形的锐钝判断符号。

2.6 点到平面的距离

点 $P$ 到平面 $\alpha$ 的距离，取平面内任一点 $A$，法向量 $\vec n$，则

$$ d=\frac{|\vec n\cdot\vec{AP}|}{|\vec n|} $$

$\vec{AP}$ 在 $\vec n$ 上的投影长度就是所求距离。求点到直线距离时，可用 $\sqrt{|\vec{AP}|^2-\bigl(\vec{AP}\cdot\vec u/|\vec u|\bigr)^2}$，$\vec u$ 为直线方向向量，即勾股定理的向量写法。

2.7 空间角与距离的统一视角

线线角、线面角、二面角本质上都是两个向量的夹角问题，区别只在用方向向量还是法向量、取 $\sin$ 还是 $\cos$、以及角度的取值范围。把方向向量和法向量都算出来，剩下的只是套公式和判断符号。距离问题则归结为投影。

3 经典例题

例 1（线面角） 正方体 $ABCD\text{-}A_1B_1C_1D_1$ 的棱长为 $1$，求 $A_1B$ 与平面 $BB_1D_1D$ 所成角的正弦值。

解：以 $D$ 为原点，$\vec{DA},\vec{DC},\vec{DD_1}$ 为 $x,y,z$ 轴。则 $A_1(1,0,1)$，$B(1,1,0)$，$\vec{A_1B}=(0,1,-1)$。

平面 $BB_1D_1D$ 内取 $\vec{DB}=(1,1,0)$，$\vec{DD_1}=(0,0,1)$。设法向量 $\vec n=(x,y,z)$，由 $\vec n\cdot\vec{DB}=x+y=0$、$\vec n\cdot\vec{DD_1}=z=0$，取 $x=1$ 得 $\vec n=(1,-1,0)$。

$$ \sin\theta=\frac{|\vec n\cdot\vec{A_1B}|}{|\vec n||\vec{A_1B}|}=\frac{|0-1|}{\sqrt2\cdot\sqrt2}=\frac12 $$

例 2（异面直线所成角） 正方体 $ABCD\text{-}A_1B_1C_1D_1$ 棱长为 $1$，求异面直线 $A_1C$ 与 $BD$ 所成角。

解：以 $D$ 为原点建系，$A_1(1,0,1)$，$C(0,1,0)$，$B(1,1,0)$，$D(0,0,0)$。$\vec{A_1C}=(-1,1,-1)$，$\vec{BD}=(-1,-1,0)$。

$$ \cos\theta=\frac{|\vec{A_1C}\cdot\vec{BD}|}{|\vec{A_1C}||\vec{BD}|}=\frac{|1-1+0|}{\sqrt3\cdot\sqrt2}=0 $$

所以所成角为 $90^\circ$。

例 3（二面角） 正方体 $ABCD\text{-}A_1B_1C_1D_1$ 棱长为 $1$，求二面角 $A_1\text{-}BD\text{-}A$ 的余弦值。

解：建系同例 2，$A_1(1,0,1)$，$A(1,0,0)$，$B(1,1,0)$，$D(0,0,0)$。

$\vec{DB}=(1,1,0)$，$\vec{DA}=(1,0,0)$，$\vec{DA_1}=(1,0,1)$。平面 $BDA$ 内取 $\vec{DB},\vec{DA}$，法向量 $\vec n_1=(0,0,1)$。平面 $BDA_1$ 内取 $\vec{DB},\vec{DA_1}$，由 $\vec n_2\cdot\vec{DB}=0$、$\vec n_2\cdot\vec{DA_1}=0$ 取 $\vec n_2=(1,-1,-1)$。

$$ \cos\langle\vec n_1,\vec n_2\rangle=\frac{-1}{\sqrt3}=-\frac{\sqrt3}{3} $$

由图知二面角为锐角，故取其相反数

$$ \cos\angle A_1\text{-}BD\text{-}A=\frac{\sqrt3}{3} $$

例 4（点到平面距离） 正方体 $ABCD\text{-}A_1B_1C_1D_1$ 棱长为 $1$，求点 $A$ 到平面 $A_1BD$ 的距离。

解：建系同例 2，$A(1,0,0)$，$A_1(1,0,1)$，$B(1,1,0)$，$D(0,0,0)$。

平面 $A_1BD$ 内 $\vec{DB}=(1,1,0)$，$\vec{DA_1}=(1,0,1)$，取法向量 $\vec n=(1,-1,-1)$。取平面内点 $D$，则 $\vec{DA}=(1,0,0)$。

$$ d=\frac{|\vec n\cdot\vec{DA}|}{|\vec n|}=\frac{|1|}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3} $$

例 5（证线线垂直） 在直三棱柱 $ABC\text{-}A_1B_1C_1$ 中，$\angle BAC=90^\circ$，$AB=AC=1$，$AA_1=2$，$M$ 为 $BC$ 中点，求证 $A_1M\perp BC$。

解：以 $A$ 为原点，$\vec{AB},\vec{AC},\vec{AA_1}$ 为 $x,y,z$ 轴。$B(1,0,0)$，$C(0,1,0)$，$A_1(0,0,2)$，$M\Bigl(\dfrac12,\dfrac12,0\Bigr)$。

$\vec{A_1M}=\Bigl(\dfrac12,\dfrac12,-2\Bigr)$，$\vec{BC}=(-1,1,0)$。

$$ \vec{A_1M}\cdot\vec{BC}=-\frac12+\frac12+0=0 $$

所以 $A_1M\perp BC$。

例 6（法向量判平行） 正方体 $ABCD\text{-}A_1B_1C_1D_1$ 棱长为 $1$，求证平面 $AB_1D_1\parallel$ 平面 $C_1BD$。

解：以 $D$ 为原点建系，$A(1,0,0)$，$B_1(1,1,1)$，$D_1(0,0,1)$，$C_1(0,1,1)$，$B(1,1,0)$，$C(0,1,0)$。

平面 $AB_1D_1$ 内 $\vec{AB_1}=(0,1,1)$，$\vec{AD_1}=(-1,0,1)$，取法向量 $\vec n_1=(1,-1,1)$。

平面 $C_1BD$ 内 $\vec{BC_1}=(-1,0,1)$，$\vec{BD}=(-1,-1,0)$，取法向量 $\vec n_2=(1,-1,1)$。

$\vec n_1=\vec n_2$，两平面法向量平行，且两平面不重合，故 $AB_1D_1\parallel C_1BD$。