选择性必修第一册 第一章 空间向量与立体几何
人教A版（2019）选择性必修第一册 · 河南高二。
本章把平面向量升到三维，是统一处理立体几何位置关系、夹角与距离的工具，高考解答题里常和线面平行垂直的证明、二面角的计算结合出现。坐标法一旦用熟，很多抽象论证都变成算数。
1 知识点总结
1.1 空间向量及其运算
空间向量和平面向量一样，是既有大小又有方向的量。空间里的向量可以自由平移，所以任意两个向量一定共面，三个向量未必共面。共线和共面是两种不同的关系，做题时要分清。
加减运算沿用三角形法则与平行四边形法则，首尾相接求和，同起点相连作差。数乘 $\lambda\vec a$ 只改长度与方向：$\lambda>0$ 时同向，$\lambda<0$ 时反向，模变为原来的 $|\lambda|$ 倍。加法、减法与数乘合称线性运算，它们满足交换律、结合律与分配律。
数量积
$$ \vec a\cdot\vec b=|\vec a|\,|\vec b|\cos\langle\vec a,\vec b\rangle $$
其中夹角 $\langle\vec a,\vec b\rangle\in[0,\pi]$。由它得到两个常用判定：$\vec a\perp\vec b\iff\vec a\cdot\vec b=0$；$\vec a\parallel\vec b\iff$ 存在唯一实数 $\lambda$ 使 $\vec a=\lambda\vec b$（$\vec b\ne\vec 0$）。数量积没有消去律，由 $\vec a\cdot\vec b=\vec a\cdot\vec c$ 只能推出 $\vec a\cdot(\vec b-\vec c)=0$，得不出 $\vec b=\vec c$。
共面向量定理：若 $\vec a,\vec b$ 不共线，则向量 $\vec p$ 与 $\vec a,\vec b$ 共面的充要条件是存在唯一一对实数 $x,y$，使
$$ \vec p=x\vec a+y\vec b $$
例 1 已知 $|\vec a|=2$，$|\vec b|=1$，$\langle\vec a,\vec b\rangle=60^\circ$，求 $|\vec a+2\vec b|$。
解：把模平方，转成数量积
$$ |\vec a+2\vec b|^2=|\vec a|^2+4\vec a\cdot\vec b+4|\vec b|^2 $$
其中 $\vec a\cdot\vec b=2\times1\times\cos60^\circ=1$。代入得
$$ |\vec a+2\vec b|^2=4+4\times1+4=12 $$
所以 $|\vec a+2\vec b|=2\sqrt3$。
例 2 已知 $\vec a,\vec b$ 不共线，$\vec p=2\vec a-\vec b$，$\vec q=\vec a+3\vec b$，判断 $\vec p$ 与 $\vec q$ 是否共线。
解：假设 $\vec p=\lambda\vec q$，即
$$ 2\vec a-\vec b=\lambda\vec a+3\lambda\vec b $$
因为 $\vec a,\vec b$ 不共线，$\vec a$ 与 $\vec b$ 的系数必须分别相等：
$$ \begin{cases}2=\lambda\\ -1=3\lambda\end{cases} $$
两式矛盾，所以不存在这样的 $\lambda$，$\vec p$ 与 $\vec q$ 不共线。
1.2 空间向量基本定理
如果三个向量 $\vec a,\vec b,\vec c$ 不共面，那么对空间中任一向量 $\vec p$，存在唯一的有序实数组 $\{x,y,z\}$，使
$$ \vec p=x\vec a+y\vec b+z\vec c $$
这样的 $\{\vec a,\vec b,\vec c\}$ 叫空间的一个基底。基底的关键是三个向量不共面。只取两个向量，它们张成的是一个平面，表示不了空间里所有向量。
若基底三个向量两两垂直且模都为 $1$，叫单位正交基底，记作 $\{\vec i,\vec j,\vec k\}$，此时坐标表示最简单，也是后面建系计算的基础。
例 3 平行六面体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，设 $\vec{AB}=\vec a$，$\vec{AD}=\vec b$，$\vec{AA_1}=\vec c$，$M$ 为 $A_1C_1$ 的中点，用 $\vec a,\vec b,\vec c$ 表示 $\vec{BM}$。
解：把 $\vec{BM}$ 拆成三段：
$$ \vec{BM}=\vec{BA}+\vec{AA_1}+\vec{A_1M} $$
其中 $\vec{BA}=-\vec a$，$\vec{AA_1}=\vec c$。在底面 $A_1B_1C_1D_1$ 中，$\vec{A_1B_1}=\vec a$，$\vec{A_1D_1}=\vec b$，$M$ 是对角线中点，故
$$ \vec{A_1M}=\frac12\vec{A_1C_1}=\frac12(\vec a+\vec b) $$
代入得
$$ \vec{BM}=-\vec a+\vec c+\frac12\vec a+\frac12\vec b=-\frac12\vec a+\frac12\vec b+\vec c $$
用基底表示向量的一般思路是：从起点出发，沿已知的棱把目标向量拆成若干段，用加法和数乘写成基向量的组合。遇到中点、重心这类特殊点，用向量比例来表示。拆的过程只涉及线性运算，得到的表达式唯一，与走哪条拆解路径无关。
1.3 空间向量及其运算的坐标表示
取单位正交基底，设 $\vec a=(a_1,a_2,a_3)$，$\vec b=(b_1,b_2,b_3)$，各运算都落到坐标上。
| 运算 | 坐标表示 |
|---|---|
| 加法 | $(a_1+b_1,\;a_2+b_2,\;a_3+b_3)$ |
| 数乘 | $(\lambda a_1,\;\lambda a_2,\;\lambda a_3)$ |
| 数量积 | $a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$ |
| 模 | $\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$ |
| 平行 | 存在 $\lambda$ 使 $a_i=\lambda b_i$，各坐标成比例 |
| 垂直 | $a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=0$ |
夹角与距离
$$ \cos\langle\vec a,\vec b\rangle=\frac{a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\,\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}} $$
$$ |AB|=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2} $$
例 4 已知 $\vec a=(1,1,0)$，$\vec b=(-1,0,2)$，求 $\vec a$ 与 $\vec b$ 的夹角及 $|\vec a+\vec b|$。
解：$\vec a\cdot\vec b=1\times(-1)+1\times0+0\times2=-1$。
$|\vec a|=\sqrt{1+1}=\sqrt2$，$|\vec b|=\sqrt{1+0+4}=\sqrt5$。于是
$$ \cos\langle\vec a,\vec b\rangle=\frac{-1}{\sqrt2\cdot\sqrt5}=-\frac{\sqrt{10}}{10} $$
又 $\vec a+\vec b=(0,1,2)$，故 $|\vec a+\vec b|=\sqrt{0+1+4}=\sqrt5$。
坐标运算里还有两个高频结论。中点坐标公式：$A(x_1,y_1,z_1)$，$B(x_2,y_2,z_2)$ 的中点 $M$ 为
$$ M\left(\frac{x_1+x_2}2,\frac{y_1+y_2}2,\frac{z_1+z_2}2\right) $$
判断三点共线，可以先求其中两点的方向向量，再看它们是否成比例。
1.4 空间向量的应用
用空间向量研究位置关系。设直线 $l$ 的方向向量为 $\vec u$，平面 $\alpha$ 的法向量为 $\vec n$。
- 线线平行、面面平行：对应方向向量平行，或两法向量平行；
- 线面平行：$\vec u\cdot\vec n=0$；
- 线线垂直、面面垂直：两方向向量、两法向量的数量积为 $0$；
- 线面垂直：$\vec u\parallel\vec n$。
用向量证平行垂直时，线面平行还要说明直线不在平面内，否则结论不完整。空间问题的坐标化，关键是选一组两两垂直的直线作坐标轴。正方体、长方体、直棱柱里三条棱天然两两垂直，最适合建系；若没有现成垂直关系，常作辅助线找出两两垂直的三条线。
用空间向量研究距离、夹角问题。三种角要选对公式。
异面直线所成角 $\theta\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right]$，结果要取绝对值：
$$ \cos\theta=\frac{|\vec u_1\cdot\vec u_2|}{|\vec u_1|\,|\vec u_2|} $$
直线与平面所成角 $\theta\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$，等于方向向量与法向量夹角的余角，所以取正弦：
$$ \sin\theta=\frac{|\vec u\cdot\vec n|}{|\vec u|\,|\vec n|} $$
二面角 $\theta\in[0,\pi]$，与两法向量夹角要么相等、要么互补，需要看图决定符号：
$$ \cos\theta=\pm\frac{\vec n_1\cdot\vec n_2}{|\vec n_1|\,|\vec n_2|} $$
点 $P$ 到平面 $\alpha$ 的距离（$\vec n$ 为法向量，$A$ 为平面内一点）：
$$ d=\frac{|\vec n\cdot\vec{AP}|}{|\vec n|} $$
求法向量的方法是设 $\vec n=(x,y,z)$，解方程组
$$ \begin{cases}\vec n\cdot\vec u_1=0\\ \vec n\cdot\vec u_2=0\end{cases} $$
取一组非零解。满足条件的法向量有无穷多个，可以给某个坐标赋 $1$，再解出另外两个，但赋值后得到的向量不能是零向量。
例 5 正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 棱长为 $2$，$M$ 为 $CC_1$ 的中点。求异面直线 $A_1B$ 与 $B_1C$ 所成角，以及点 $M$ 到平面 $A_1BD$ 的距离。
解：以 $A$ 为原点，$\vec{AB},\vec{AD},\vec{AA_1}$ 为坐标轴建系，则
$$ A(0,0,0),\ B(2,0,0),\ C(2,2,0),\ D(0,2,0),\ A_1(0,0,2),\ B_1(2,0,2),\ M(2,2,1) $$
直线 $A_1B$ 的方向向量 $\vec u_1=\vec{AB}-\vec{AA_1}=(2,0,-2)$，直线 $B_1C$ 的方向向量 $\vec u_2=(0,2,-2)$。
$$ \vec u_1\cdot\vec u_2=2\times0+0\times2+(-2)\times(-2)=4 $$
$$ |\vec u_1|=|\vec u_2|=2\sqrt2,\qquad \cos\theta=\frac{4}{2\sqrt2\cdot2\sqrt2}=\frac12 $$
所以异面直线 $A_1B$ 与 $B_1C$ 所成角为 $60^\circ$。
求平面 $A_1BD$ 的法向量。$\vec{A_1B}=(2,0,-2)$，$\vec{A_1D}=(0,2,-2)$，设 $\vec n=(x,y,z)$ 并令
$$ \begin{cases}2x-2z=0\\ 2y-2z=0\end{cases} $$
得 $x=y=z$，取 $\vec n=(1,1,1)$。点 $M(2,2,1)$ 到平面的距离
$$ d=\frac{|\vec n\cdot\vec{A_1M}|}{|\vec n|}=\frac{|1\times2+1\times2+1\times(-1)|}{\sqrt3}=\frac{3}{\sqrt3}=\sqrt3 $$
2 易错题总结
| 易错点 | 常见错法 | 正确做法 | 原因 |
|---|---|---|---|
| 异面直线所成角 | 直接用 $\cos\langle\vec u_1,\vec u_2\rangle$ 得到负值 | 取绝对值，$\cos\theta=\dfrac{|\vec u_1\cdot\vec u_2|}{|\vec u_1||\vec u_2|}$ | 线线角范围是 $\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right]$，不能是钝角 |
| 线面角公式 | 用 $\cos$ 去算线面角 | 用 $\sin\theta=\dfrac{|\vec u\cdot\vec n|}{|\vec u||\vec n|}$ | 线面角是方向向量与法向量夹角的余角 |
| 二面角与法向量夹角 | 直接把 $\langle\vec n_1,\vec n_2\rangle$ 当二面角 | 先算 $\cos\langle\vec n_1,\vec n_2\rangle$，再看图决定取本身还是补角 | 法向量朝向不唯一，夹角与二面角可能互补 |
| 求法向量时赋零 | 设 $\vec n=(x,y,z)$ 后给两个坐标赋值，解出零向量 | 只给一个坐标赋非零值，解出另外两个 | 零向量不能作为法向量，方向也无法确定 |
| 点面距公式 | 写成 $\dfrac{|\vec n\cdot\vec{AP}|}{|\vec{AP}|}$ | 分母是 $|\vec n|$ | 分子是投影的总量，除以法向量模才得到投影长度 |
| 线面平行条件 | 只验证 $\vec u\cdot\vec n=0$ 就下结论 | 还要说明直线不在平面内 | 直线在平面内时同样满足 $\vec u\cdot\vec n=0$ |
2.1 易错典型题
题 1 长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$AB=2$，$AD=1$，$AA_1=1$，求二面角 $A_1-BD-A$ 的余弦值。
错法：求出平面 $A_1BD$ 的法向量 $\vec n_1$ 与平面 $ABD$ 的法向量 $\vec n_2$，直接写 $\cos\theta=\dfrac{\vec n_1\cdot\vec n_2}{|\vec n_1||\vec n_2|}$，算出结果就当答案。
正解：取 $D$ 为原点，$\vec{DA},\vec{DC},\vec{DD_1}$ 为坐标轴建系，则 $D(0,0,0)$，$A(1,0,0)$，$B(1,2,0)$，$A_1(1,0,1)$。
平面 $ABD$ 就是 $z=0$ 平面，取法向量 $\vec n_2=(0,0,1)$。
平面 $A_1BD$ 中 $\vec{DB}=(1,2,0)$，$\vec{DA_1}=(1,0,1)$，设 $\vec n_1=(x,y,z)$，令 $\vec n_1\cdot\vec{DB}=0$，$\vec n_1\cdot\vec{DA_1}=0$，即
$$ \begin{cases}x+2y=0\\ x+z=0\end{cases} $$
取 $x=2$，则 $y=-1$，$z=-2$，得 $\vec n_1=(2,-1,-2)$，$|\vec n_1|=3$。于是
$$ \cos\langle\vec n_1,\vec n_2\rangle=\frac{0\times2+0\times(-1)+1\times(-2)}{3\times1}=-\frac23 $$
法向量的夹角对应钝角，而观察图形，二面角 $A_1-BD-A$ 是锐角，两者互补，故取补角，$\cos\theta=\dfrac23$。
要点：用法向量求二面角，先算余弦值，再由图形判断取本身还是取相反数。判断技巧是：两法向量一内一外时二面角与法向量夹角相等，同在内或同在外时互补。
题 2 正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 棱长为 $1$，求直线 $A_1C$ 与平面 $ABCD$ 所成角的正弦值。
错法：把 $A_1C$ 的方向向量与平面法向量的夹角当成线面角，直接用余弦公式，得出一个不合适的钝角。
正解：以 $A$ 为原点建系，$A(0,0,0)$，$C(1,1,0)$，$A_1(0,0,1)$，平面 $ABCD$ 的法向量取 $\vec n=(0,0,1)$。
直线 $A_1C$ 的方向向量 $\vec{A_1C}=(1,1,-1)$。由线面角公式
$$ \sin\theta=\frac{|\vec{A_1C}\cdot\vec n|}{|\vec{A_1C}||\vec n|}=\frac{|-1|}{\sqrt{1+1+1}\times1}=\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3} $$
所以所求正弦值为 $\dfrac{\sqrt3}{3}$。
要点：线面角一定用 $\sin$，且结果为非负数。若算出 $\sin\theta>1$ 或用了 $\cos$，说明公式选错了。