立体几何初步 · 拓展与经典例题
人教A版（2019）必修第二册 · 河南高二。
这一页把平行、垂直判定与性质的条件逐条列清，补齐课本没细讲的三垂线定理、外接球与内切球模型、等体积方和截面作法，做证明题时对着清单逐条核对条件。
1 核心方法梳理
- 证平行先找线线平行，再用判定定理，条件缺一不可。
- 证垂直优先证线面垂直，线面垂直一出来，面面垂直和异面直线垂直都好办。
- 求外接球先想长方体补形，再定到各顶点等距的点为球心。
- 求点到平面的距离、求内切球半径，都把体积当桥梁。
- 遇折叠先分清哪些量不变，折痕同侧的线段长度与夹角保持原值。
2 拓展知识
2.1 平行与垂直的条件清单
考试作证明，判定定理的条件少写一条就扣分。下面两张表把符号语言和易漏条件对齐。
| 定理 | 已知条件 | 结论 | 易漏条件 |
|---|---|---|---|
| 线面平行判定 | $a\not\subset\alpha$，$b\subset\alpha$，$a\parallel b$ | $a\parallel\alpha$ | $a\not\subset\alpha$ |
| 线面平行性质 | $a\parallel\alpha$，$a\subset\beta$，$\alpha\cap\beta=b$ | $a\parallel b$ | 平面 $\beta$ 必须过直线 $a$ |
| 面面平行判定 | $a\subset\beta$，$b\subset\beta$，$a\cap b=P$，$a\parallel\alpha$，$b\parallel\alpha$ | $\alpha\parallel\beta$ | $a$、$b$ 必须相交 |
| 面面平行性质 | $\alpha\parallel\beta$，$\gamma\cap\alpha=a$，$\gamma\cap\beta=b$ | $a\parallel b$ | 第三个平面须与两者都相交 |
| 定理 | 已知条件 | 结论 | 易漏条件 |
|---|---|---|---|
| 线面垂直判定 | $a\perp b$，$a\perp c$，$b\subset\alpha$，$c\subset\alpha$，$b\cap c=P$ | $a\perp\alpha$ | $b$、$c$ 必须相交 |
| 线面垂直性质 | $a\perp\alpha$，$b\perp\alpha$ | $a\parallel b$ | 无 |
| 面面垂直判定 | $a\perp\alpha$，$a\subset\beta$ | $\alpha\perp\beta$ | 直线 $a$ 要在平面 $\beta$ 内 |
| 面面垂直性质 | $\alpha\perp\beta$，$\alpha\cap\beta=l$，$a\subset\alpha$，$a\perp l$ | $a\perp\beta$ | 只对交线 $l$ 的垂线成立 |
用面面垂直的性质时，先找交线，再在其中一个平面内作交线的垂线。
2.2 三垂线定理
设 $PA$ 是平面 $\alpha$ 的斜线，$A$ 为斜足，$PO\perp\alpha$ 于 $O$，则 $OA$ 是斜线 $PA$ 在平面内的射影。平面 $\alpha$ 内一条直线 $l$：
$$ OA\perp l\ \Longrightarrow\ PA\perp l $$
这就是三垂线定理，逆定理把条件和结论对调后同样成立。它把异面直线垂直的问题化成平面内两条直线的垂直，找齐垂线、射影、斜线这三条即可。
2.3 外接球的三种常见模型
模型一，长方体（含正方体，以及能补成长方体的三棱锥）。三条两两垂直的棱长为 $a$、$b$、$c$，体对角线就是球的直径：
$$ 2R=\sqrt{a^2+b^2+c^2} $$
球心在体对角线的中点。遇到三条棱两两垂直的棱锥，把它补成长方体即可套用。
模型二，直棱柱（侧棱垂直于底面）。设底面外接圆半径为 $r$，高为 $h$，球心在上下底面外心连线的中点：
$$ R^2=r^2+\left(\frac{h}{2}\right)^2 $$
正三棱柱、正四棱柱、圆柱都归这一类。出现过一条侧棱垂直于底面的棱锥，可看作直棱柱的一半，也用这个式子。
模型三，正四面体（棱长 $a$）。它可嵌入棱长为 $\dfrac{\sqrt2}{2}a$ 的正方体，外接球半径
$$ R=\frac{\sqrt6}{4}a $$
三种模型之外，若几何体有对称性，也可直接找球心：球心到所有顶点的距离相等，常落在某条对称轴上。
2.4 内切球与等体积法
多面体内切球的球心到各个面的距离都等于 $r$。把球心与各面连成小棱锥，它们的体积之和等于原多面体的体积：
$$ V=\frac13 r S_{\text{表}}\ \Longrightarrow\ r=\frac{3V}{S_{\text{表}}} $$
正四面体棱长为 $a$ 时，$r=\dfrac{\sqrt6}{12}a$。
同一招可求点到平面的距离。设点 $P$ 到平面 $\alpha$ 的距离为 $h$，取 $\alpha$ 内一个三角形作底，把 $P$ 当锥的顶点，用换顶点的方式算同一个锥的体积：
$$ \frac13 S_{\text{底}}\cdot h=V\ \Longrightarrow\ h=\frac{3V}{S_{\text{底}}} $$
换的那个顶点通常能让体积好算，这是等体积法的关键。
2.5 截面作法
作截面先找三个共面点。同一平面内的两点连线，延长后与棱相交，交点继续连；两个平行平面被第三个平面所截，交线互相平行。正方体里常见的截面有正六边形截面，它过六条棱的中点，且垂直于一条体对角线。判断截面形状时先定出各条交线，再看边长关系。
2.6 展开与最短路径
把曲面展开成平面，最短路径就化为平面内两点间的线段。圆柱侧面展开成长方形，圆锥侧面展开成扇形，展开后要标清各点的相对位置，再用勾股定理或余弦定理算长度。折叠问题的重点在折痕：同一半平面内的长度和角度保持不变，两侧的相对位置改变。
2.7 表面积与体积公式的适用条件
柱体 $V=Sh$ 中 $S$ 是底面积，$h$ 是两底面间的距离。锥体 $V=\dfrac13 Sh$ 中 $h$ 是顶点到底面的垂直距离，不能用侧棱长代替。台体 $V=\dfrac13(S+\sqrt{SS'}+S')h$ 里 $S$、$S'$ 是上下底面积。球的公式只适用于球。组合体一般用割补法，先分割成柱、锥、台再求和。
3 经典例题
例 1（线面平行判定） 在正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$E$、$F$ 分别是棱 $AA_1$、$CC_1$ 的中点，求证 $EF\parallel$ 平面 $ABCD$。
解：因为 $E$、$F$ 分别是 $AA_1$、$CC_1$ 的中点，而 $AA_1$ 与 $CC_1$ 平行且相等，所以四边形 $AECF$ 中 $AE$ 与 $CF$ 平行且相等，$AECF$ 是平行四边形，于是 $EF\parallel AC$。
又 $AC\subset$ 平面 $ABCD$，且 $EF\not\subset$ 平面 $ABCD$，由线面平行的判定定理，$EF\parallel$ 平面 $ABCD$。
三个条件里 $EF\not\subset$ 平面 $ABCD$ 最容易漏，写证明时要补上。
例 2（长方体外接球） 长方体的一个顶点出发的三条棱长分别为 $2$、$3$、$6$，求其外接球的表面积。
解：长方体的外接球直径等于体对角线，由模型一
$$ 2R=\sqrt{2^2+3^2+6^2}=\sqrt{49}=7\ \Longrightarrow\ R=\frac72 $$
表面积
$$ S=4\pi R^2=4\pi\times\frac{49}{4}=49\pi $$
例 3（等体积法求点面距离） 在棱长为 $2$ 的正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，求点 $A$ 到平面 $A_1BD$ 的距离。
解：把三棱锥换顶点，用两种方式算 $V_{A-A_1BD}$。
以 $\triangle ABD$ 为底、$A_1$ 为顶点：$\triangle ABD$ 是腰长为 $2$ 的等腰直角三角形，面积 $S_{\triangle ABD}=\dfrac12\times2\times2=2$，高 $AA_1=2$，于是
$$ V_{A-A_1BD}=V_{A_1-ABD}=\frac13\times2\times2=\frac43 $$
再看 $\triangle A_1BD$，三边 $A_1B=A_1D=2\sqrt2$，$BD=2\sqrt2$，是边长为 $2\sqrt2$ 的等边三角形，面积
$$ S_{\triangle A_1BD}=\frac{\sqrt3}{4}(2\sqrt2)^2=2\sqrt3 $$
设 $A$ 到平面 $A_1BD$ 的距离为 $h$，则
$$ \frac13\times2\sqrt3\times h=\frac43\ \Longrightarrow\ h=\frac{2}{\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}{3} $$
例 4（三垂线定理） 已知 $PA\perp$ 平面 $ABC$，$\angle ACB=90^\circ$，求证 $PB\perp BC$。
解：由 $PA\perp$ 平面 $ABC$，得 $PA\perp BC$。又 $BC\perp AC$，而 $PA$、$AC$ 是平面 $PAC$ 内两条相交直线，所以 $BC\perp$ 平面 $PAC$，从而 $BC\perp PC$。
$PC$ 是斜线 $PB$ 在平面 $PAC$ 内的射影，由三垂线定理，$PB\perp BC$。
例 5（折叠与二面角） 边长为 $1$ 的正方形 $ABCD$ 沿对角线 $AC$ 折起，使 $BD=1$，求二面角 $B-AC-D$ 的大小。
解：设 $O$ 为 $AC$ 的中点。折起前后 $BO\perp AC$、$DO\perp AC$ 都成立，所以 $\angle BOD$ 是二面角 $B-AC-D$ 的平面角。正方形边长 $1$，则
$$ BO=DO=\frac{\sqrt2}{2},\qquad BD=1 $$
在 $\triangle BOD$ 中由余弦定理
$$ \cos\angle BOD=\frac{BO^2+DO^2-BD^2}{2\cdot BO\cdot DO}=\frac{\frac12+\frac12-1}{2\times\frac12}=0 $$
所以 $\angle BOD=90^\circ$，即二面角 $B-AC-D$ 为 $90^\circ$。