必修二 第八章 立体几何初步
人教A版（2019）必修第二册 · 河南高二。
立体几何是高考必考解答题的来源之一，第一问多考平行与垂直的证明，第二问常落到空间角与体积，判定定理的条件一个字都不能少。
1 知识点总结
1.1 基本立体图形
多面体由平面多边形围成，常见三类：
- 棱柱：两个底面平行且全等，侧面都是平行四边形。侧棱垂直于底面的叫直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱。
- 棱锥：只有一个底面，侧面是有公共顶点的三角形。底面是正多边形、顶点在底面中心正上方的叫正棱锥。
- 棱台：用平行于底面的平面去截棱锥，截面与底面之间的部分。
旋转体由平面图形旋转得到：矩形绕一边旋转得圆柱，直角三角形绕一条直角边旋转得圆锥，直角梯形绕垂直于底边的腰旋转得圆台，半圆绕直径旋转得球。
1.2 立体图形的直观图
画直观图用斜二测画法，规则有三条：
- 原图中取互相垂直的 $x$ 轴、$y$ 轴，画直观图时两轴成 $45^\circ$（或 $135^\circ$）。
- 平行于 $x$ 轴的线段长度不变，平行于 $y$ 轴的线段长度减半。
- 平行关系保持不变，原来平行的线段在直观图中仍平行。
由此得到一个常考结论：设原图面积为 $S$，其直观图面积为 $S'$，则
$$ \frac{S'}{S}=\frac{\sqrt2}{4} $$
例 边长为 $2$ 的正三角形用斜二测画法画出直观图，求直观图的面积。
解：原三角形面积
$$ S=\frac{\sqrt3}{4}\times2^2=\sqrt3 $$
直观图面积
$$ S'=\frac{\sqrt2}{4}S=\frac{\sqrt2}{4}\times\sqrt3=\frac{\sqrt6}{4} $$
1.3 简单几何体的表面积与体积
圆柱（底面半径 $r$，母线 $l$，高 $h$，且 $l=h$）：
$$ S_{\text{侧}}=2\pi rl,\qquad V=\pi r^2h $$
圆锥（底面半径 $r$，母线 $l$，高 $h$）：
$$ S_{\text{侧}}=\pi rl,\qquad V=\frac13\pi r^2h $$
球的表面积与体积（半径 $R$）：
$$ S=4\pi R^2,\qquad V=\frac43\pi R^3 $$
台体的体积公式是 $V=\dfrac13(S+\sqrt{SS'}+S')h$，其中 $S,S'$ 是上下底面积。柱体、锥体、台体的体积公式里，锥体总带一个 $\dfrac13$。
例 1 一个圆锥的底面半径为 $3$，高为 $4$，求它的侧面积与体积。
解：母线、高、底面半径构成直角三角形，由勾股定理
$$ l=\sqrt{3^2+4^2}=5 $$
侧面积 $S_{\text{侧}}=\pi rl=\pi\times3\times5=15\pi$。
体积 $V=\dfrac13\pi r^2h=\dfrac13\times\pi\times9\times4=12\pi$。
1.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
平面的基本性质用三条公理描述：
- 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
- 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
- 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
两条直线的位置关系有相交、平行、异面三种。异面直线指不同在任何一个平面内的两条直线，判定要点是既不平行也不相交。直线与平面的位置关系有三种：直线在平面内、相交、平行。两个平面的位置关系有两种：平行、相交。
1.5 空间直线、平面的平行
线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
符号语言是 $a\not\subset\alpha$，$b\subset\alpha$，$a\parallel b$ $\Rightarrow$ $a\parallel\alpha$。三个条件缺一不可，其中 $a\not\subset\alpha$ 最容易被漏写。
线面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
面面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
面面平行的性质定理：两个平面平行，第三个平面与它们都相交，则两条交线平行。
1.6 空间直线、平面的垂直
线面垂直的判定定理：一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。关键词是相交，两条平行直线不行。
线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行。
面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
面面垂直的性质定理：两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。用的时候要先找到交线，垂直的对象是交线，平面内其余直线不满足。
例 2 在正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，证明 $BD\perp$ 平面 $ACC_1A_1$。
解：底面 $ABCD$ 是正方形，两条对角线互相垂直，所以 $BD\perp AC$。
又 $AA_1\perp$ 底面 $ABCD$，而 $BD\subset$ 底面，所以 $BD\perp AA_1$。
$AC$ 与 $AA_1$ 是平面 $ACC_1A_1$ 内两条相交直线，由线面垂直的判定定理，$BD\perp$ 平面 $ACC_1A_1$。
2 易错题总结
| 易错点 | 常见错法 | 正确做法 | 原因 |
|---|---|---|---|
| 异面直线的判断 | 认为不相交的两条直线就是异面直线 | 还要排除平行，异面直线既不平行也不相交 | 空间中不相交分平行与异面两类 |
| 线面平行的判定 | 只写线线平行就下结论 | 补上直线在平面外、另一条在平面内 | 判定定理的三个条件缺一不可 |
| 线面垂直的判定 | 用平面内两条平行直线去证 | 必须是两条相交直线 | 平行直线不能确定平面的方向 |
| 面面垂直的性质 | 说面内任一直线都垂直于另一平面 | 只有垂直于交线的那条才成立 | 性质定理只对交线的垂线成立 |
| 直观图的面积比 | 认为直观图与原图面积相等 | 面积比为 $\dfrac{\sqrt2}{4}$，直观图更小 | 斜二测把 $y$ 向长度减半并倾斜 |
| 体积公式用错高 | 用母线当高代入锥体体积公式 | 锥体体积用的是底面到顶点的垂直距离 $h$ | 高指点到面的距离，别拿斜线长代入 |
2.1 易错典型题
题 判断：一条直线平行于一个平面，则它平行于这个平面内的所有直线。
错法：直接判对。以为线面平行就能推出与平面内任意直线都平行。
正解：应判错。线面平行的性质定理指出，过这条直线的平面与已知平面的交线才与它平行，平面内其余直线与它可能异面。举反例：在平面 $\alpha$ 内取两条相交直线 $m,n$，直线 $l\parallel\alpha$，则 $l$ 可能与 $m$ 平行，与 $n$ 异面。
要点：由线面平行推线线平行时，必须借助第三个平面找出交线，不能笼统地说与平面内所有直线平行。