必修二 第七章 复数
人教A版（2019）必修第二册 · 河南高二。
复数在高考中多以选择、填空出现，常与方程、向量、三角结合，核心是把实部与虚部的运算和复平面上的几何意义弄熟。
1 知识点总结
1.1 复数的概念
数系扩充的动因很简单：方程 $x^2=-1$ 在实数范围内无解。引入一个新数 $i$，规定 $i^2=-1$，方程就有解了。数系随之从实数集扩充到复数集，层层包含的关系是 $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$。
复数的一般形式写作
$$ z=a+bi\quad(a,b\in\mathbb{R}) $$
其中 $a$ 是实部，记作 $\operatorname{Re}(z)$；$b$ 是虚部，记作 $\operatorname{Im}(z)$。要留意虚部是 $b$ 本身，带着符号，不含 $i$。
按 $b$ 的取值分类：
- $b=0$ 时 $z$ 是实数；
- $b\ne0$ 时 $z$ 是虚数；
- $a=0$ 且 $b\ne0$ 时 $z$ 是纯虚数。
复数之间没有大小关系，但模是实数，$|z_1|$ 与 $|z_2|$ 可以比较大小，这是把复数压回实数的一条常用路子。
复数相等的充要条件是实部、虚部分别相等：
$$ a+bi=c+di\iff a=c\ \text{且}\ b=d $$
列方程组解未知量就靠这一条。
复数的几何意义：把 $z=a+bi$ 对应到复平面上的点 $Z(a,b)$，也就对应向量 $\overrightarrow{OZ}$，于是
$$ |z|=\sqrt{a^2+b^2} $$
叫做复数的模，就是点 $Z$ 到原点的距离。共轭复数 $\bar z=a-bi$，几何上是关于实轴的对称点。$a,b$ 的符号决定了点 $Z$ 落在哪个象限，由此可以把复数的代数条件翻译成几何条件。
例 1 当实数 $m$ 取何值时，复数 $z=(m^2-1)+(m-1)i$ 是纯虚数？
解：纯虚数要求实部为零且虚部不为零。由
$$ m^2-1=0\ \Rightarrow\ m=\pm1 $$
又 $m-1\ne0$，得 $m\ne1$。两个条件同时成立，只有 $m=-1$。
例 2 复数 $z=(x-1)+(2x-1)i$ 对应的点在复平面第二象限，求实数 $x$ 的取值范围。
解：第二象限的横坐标小于零、纵坐标大于零，即
$$ x-1<0\ \Rightarrow\ x<1,\qquad 2x-1>0\ \Rightarrow\ x>\frac12 $$
取交集得 $\dfrac12<x<1$。
1.2 复数的四则运算
加减法逐项对应：
$$ (a+bi)\pm(c+di)=(a\pm c)+(b\pm d)i $$
乘法按多项式展开，遇到 $i^2$ 换成 $-1$：
$$ (a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2=(ac-bd)+(ad+bc)i $$
除法分子分母同乘分母的共轭复数，把分母实数化：
$$ \frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2} $$
$i$ 的幂有周期，周期为 $4$：$i^1=i$，$i^2=-1$，$i^3=-i$，$i^4=1$，之后循环。求 $i^n$ 时用 $n$ 除以 $4$ 看余数即可。
关于共轭与模，有几个恒等式常用：
$$ z\bar z=|z|^2,\qquad \overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2},\qquad \overline{z_1z_2}=\overline{z_1}\,\overline{z_2} $$
其中 $z\bar z=|z|^2$ 是把复数问题转成实数问题的常用工具。
例 3 计算 $\dfrac{1+2i}{1-i}$，并求 $i^{2026}$。
解：分子分母同乘 $1+i$，
$$ \frac{(1+2i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{1+i+2i+2i^2}{1-i^2}=\frac{-1+3i}{2}=-\frac12+\frac32 i $$
因为 $2026=4\times506+2$，所以 $i^{2026}=i^2=-1$。
例 4 已知 $(x+y)+(x-y)i=3+i$（$x,y\in\mathbb{R}$），求 $x,y$。
解：由复数相等的充要条件，实部、虚部分别相等，
$$ \begin{cases}x+y=3\\x-y=1\end{cases} $$
解得 $x=2$，$y=1$。
1.3 复数的三角表示（带 * 号）
任一非零复数 $z=a+bi$ 都能写成三角形式
$$ z=r(\cos\theta+i\sin\theta) $$
其中 $r=|z|$ 是模，$\theta$ 是以 $x$ 轴正半轴为始边、向量 $\overrightarrow{OZ}$ 为终边的角，叫辐角，规定 $[0,2\pi)$ 内的那个为辐角主值。
这套形式下乘除很简洁：模相乘除，辐角相加减。
$$ z_1z_2=r_1r_2\big[\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\big] $$
$$ \frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\big[\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)\big] $$
这部分高考要求不高，会做简单的模、辐角换算即可。
例 5 把 $z=1+\sqrt3 i$ 化成三角形式。
解：模
$$ r=\sqrt{1^2+(\sqrt3)^2}=2 $$
由 $\cos\theta=\dfrac12$，$\sin\theta=\dfrac{\sqrt3}{2}$，且 $z$ 对应的点在第一象限，得 $\theta=\dfrac{\pi}{3}$。所以
$$ z=2\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right) $$
2 易错题总结
| 易错点 | 常见错法 | 正确做法 | 原因 |
|---|---|---|---|
| 虚部的取值 | 把 $2-3i$ 的虚部写成 $3i$ | 虚部是 $-3$，不含 $i$，还要带符号 | 定义里虚部是一个实数 |
| 纯虚数的条件 | 只令实部为 $0$ 就判定是纯虚数 | 虚部也要 $\ne0$，否则可能得到 $0$ | 纯虚数排除了实数 $0$ |
| 虚数比较大小 | 对两个虚数用 $>$ 或 $<$ 排序 | 虚数不能比较大小，只有实数才可以 | 有序性在复数域不成立 |
| 复数相等的条件 | 由 $a+bi=0$ 推出 $a=0$ 或 $b=0$ | 必须 $a=0$ 且 $b=0$ 同时成立 | 实部、虚部是两个独立条件 |
| 共轭与实数的混同 | 认为 $\bar z=z$ 对任何 $z$ 都成立 | $\bar z=z$ 只在 $z$ 为实数时成立 | 共轭要把虚部变号 |
| 模的计算 | 把 $|a+bi|$ 写成 $a^2+b^2$ | 是 $\sqrt{a^2+b^2}$，别忘开方 | 模表示距离，一定是非负数 |
2.1 易错典型题
题 已知 $z=\dfrac{a+i}{1-i}$（$a\in\mathbb{R}$）是纯虚数，求 $a$。
错法：只看分子，认为分子是纯虚数就令 $a=0$。分母没处理，结果不对。
正解：先把分母实数化，
$$ z=\frac{(a+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{a+ai+i+i^2}{2}=\frac{(a-1)+(a+1)i}{2} $$
写成 $\dfrac{a-1}{2}+\dfrac{a+1}{2}i$。纯虚数要求
$$ \frac{a-1}{2}=0\ \Rightarrow\ a=1,\qquad \frac{a+1}{2}\ne0\ \Rightarrow\ a\ne-1 $$
所以 $a=1$。
要点：判断一个复数的类型，先化成 $a+bi$ 的标准形式，再按实部、虚部的条件讨论。分母含 $i$ 时先有理化。