平面向量及其应用 · 拓展与经典例题

人教A版（2019）必修第二册 · 河南高二。
这一页收课本正文没细讲、考试却常出现的向量结论，极化恒等式、奔驰定理、等和线、四心的向量表示都在内，配几道典型例题说明怎么用。

1 核心方法梳理

1. 遇模先平方。$|\vec a|^2=\vec a\cdot\vec a$，把根号问题化成数量积。
2. 遇共线设系数。$\vec a\parallel\vec b$ 就写 $\vec a=\lambda\vec b$，再用基底分解比较系数。
3. 遇垂直用点积为零，$\vec a\perp\vec b\iff\vec a\cdot\vec b=0$。
4. 遇三角形先选基底。把两条边长所在向量当基底，其余向量全写成它们的线性组合。
5. 遇最值想几何意义。模对应线段长，数量积对应投影，画图往往比硬算快。

2 拓展知识

2.1 极化恒等式

向量加减的模的平方差与数量积之间有一条恒等式：

$$ 4\vec a\cdot\vec b=|\vec a+\vec b|^2-|\vec a-\vec b|^2 $$

它把数量积换成两个模的平方差，凡是只给模长、要算数量积的题都能用。几何形式更实用：在 $\triangle ABC$ 中，$M$ 为 $BC$ 的中点，则

$$ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=|AM|^2-\frac14|BC|^2 $$

把 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}$、$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{MB}$ 代入点积就能得到。已知三边求某个角的数量积，用它可以绕开余弦定理。

2.2 奔驰定理

设 $P$ 是 $\triangle ABC$ 内一点，记 $S_A$、$S_B$、$S_C$ 分别为 $\triangle PBC$、$\triangle PCA$、$\triangle PAB$ 的面积，则

$$ S_A\,\overrightarrow{PA}+S_B\,\overrightarrow{PB}+S_C\,\overrightarrow{PC}=\vec 0 $$

反过来也成立：只要 $x\overrightarrow{PA}+y\overrightarrow{PB}+z\overrightarrow{PC}=\vec 0$ 且 $x,y,z>0$，就有 $S_A:S_B:S_C=x:y:z$。给一个向量等式求面积比，直接读系数就行。这个结论的图形像奔驰车标，因此得名。

2.3 等和线

取两个不共线的向量 $\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$，点 $P$ 满足

$$ \overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB} $$

若 $x+y$ 为定值 $k$，则 $P$ 的轨迹是一条与 $AB$ 平行的直线。$k=1$ 时正是直线 $AB$ 本身，$k$ 越大直线离 $O$ 越远。据此可把「系数和为定值」翻译成「点在某条平行线上」，再配合距离求参数范围。

2.4 三角形四心的向量表示

设 $O$ 为平面内一点，$\triangle ABC$ 的三边为 $a=BC$、$b=CA$、$c=AB$。

重心的式子还能写成 $\overrightarrow{OG}=\dfrac13(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$。外心的等模条件两边平方，可转成点积方程来解。垂心那条「两两点积相等」由三条高线条件 $\overrightarrow{HA}\perp\overrightarrow{BC}$ 一类推出。

2.5 向量与面积比

若 $\overrightarrow{AP}=\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AC}$，则

$$ \frac{S_{\triangle PBC}}{S_{\triangle ABC}}=|1-\lambda-\mu|,\qquad \frac{S_{\triangle PCA}}{S_{\triangle ABC}}=|\lambda|,\qquad \frac{S_{\triangle PAB}}{S_{\triangle ABC}}=|\mu| $$

三个比值之和为 $1$，这正是 $P$ 关于 $\triangle ABC$ 的重心坐标。把面积比写成向量系数，是处理剖分、连线交点问题的常规手段。

2.6 共线与垂直的向量证法

证三点 $A$、$B$、$C$ 共线，只需 $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$。证两直线垂直，只需方向向量的点积为零。要证一组点落在某图形上，先把条件统一成同一个起点 $O$ 的向量，再作线性比较。以 $O$ 为起点时 $\overrightarrow{OG}=\dfrac13(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$，用它可快速定位重心。

3 经典例题

例 1（极化恒等式求数量积） 在 $\triangle ABC$ 中，$AB=3$，$AC=2$，$\angle BAC=60^\circ$，$M$ 为 $BC$ 中点，用极化恒等式的几何形式求 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$。

解：先用余弦定理求 $BC$：

$$ BC^2=3^2+2^2-2\times3\times2\times\cos60^\circ=9+4-6=7 $$

由中线长公式

$$ AM^2=\frac{2AB^2+2AC^2-BC^2}{4}=\frac{2\times9+2\times4-7}{4}=\frac{19}{4} $$

代入几何形式：

$$ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AM^2-\frac14 BC^2=\frac{19}{4}-\frac74=3 $$

检验：直接算 $3\times2\times\cos60^\circ=3$，一致。

例 2（奔驰定理求面积比） 设 $P$ 为 $\triangle ABC$ 内一点，且 $\overrightarrow{PA}+2\overrightarrow{PB}+3\overrightarrow{PC}=\vec 0$，求 $S_{\triangle PBC}:S_{\triangle PCA}:S_{\triangle PAB}$。

解：由奔驰定理，面积比等于三个系数的比，

$$ S_{\triangle PBC}:S_{\triangle PCA}:S_{\triangle PAB}=1:2:3 $$

例 3（等和线求系数和） 已知 $\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$ 不共线，点 $P$ 满足 $\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$。若 $P$ 落在直线 $AB$ 上，求 $x+y$。

解：直线 $AB$ 上的点都能写成 $\overrightarrow{OP}=(1-t)\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$，两系数之和为 $(1-t)+t=1$。所以

$$ x+y=1 $$

例 4（判断三角形的心） 设 $P$ 为 $\triangle ABC$ 所在平面内一点，且 $\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{PC}\cdot\overrightarrow{PA}$，判断 $P$ 是什么心。

解：由 $\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PC}$，移项得

$$ \overrightarrow{PB}\cdot(\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PC})=0\ \Longrightarrow\ \overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{CA}=0 $$

所以 $PB\perp CA$。另两个等式同理给出 $PC\perp AB$、$PA\perp BC$，三条都是高线所在直线，故 $P$ 是垂心。

例 5（重心的坐标） 已知 $\triangle ABC$ 的顶点 $A(1,2)$、$B(3,-1)$、$C(-2,4)$，求重心 $G$ 的坐标，并验证 $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec 0$。

解：重心坐标是三个顶点坐标的平均值，

$$ G\left(\frac{1+3-2}{3},\ \frac{2-1+4}{3}\right)=G\left(\frac23,\ \frac53\right) $$

于是

$$ \overrightarrow{GA}=\left(\frac13,\frac13\right),\quad \overrightarrow{GB}=\left(\frac73,-\frac83\right),\quad \overrightarrow{GC}=\left(-\frac83,\frac73\right) $$

三者相加得 $\left(\dfrac13+\dfrac73-\dfrac83,\ \dfrac13-\dfrac83+\dfrac73\right)=(0,0)$，与重心条件相符。

例 6（面积比与共线） 在 $\triangle ABC$ 中，$D$ 在边 $BC$ 上且 $BD:DC=1:2$，用 $\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$ 表示 $\overrightarrow{AD}$，并求 $S_{\triangle ABD}:S_{\triangle ABC}$。

解：由比例关系，

$$ \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\frac13\overrightarrow{BC} =\overrightarrow{AB}+\frac13(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}) =\frac23\overrightarrow{AB}+\frac13\overrightarrow{AC} $$

系数和 $\dfrac23+\dfrac13=1$，说明 $D$ 在 $BC$ 上，符合。两个三角形同高，面积比等于底边之比，

$$ S_{\triangle ABD}:S_{\triangle ABC}=BD:BC=1:3 $$