复数 · 拓展与经典例题

人教A版（2019）必修第二册 · 河南高二。
这一页把复数的几何意义、模与共轭的性质、乘法与旋转、单位立方根 $\omega$ 串一遍，再配几道高考常见题型。

1 核心方法梳理

代数题先设 $z=a+bi$，把条件翻成关于实数 $a$、$b$ 的方程。
几何题想复平面，$|z-z_0|$ 就是点 $Z$ 到点 $z_0$ 的距离。
见模就乘共轭或平方，用 $z\bar z=|z|^2$ 把 $i$ 消掉。
求模的最值，用三角不等式或几何意义。
出现 $\omega$ 就用 $\omega^3=1$、$1+\omega+\omega^2=0$ 降次。

2 拓展知识

2.1 复数与复平面的对应

复数 $z=a+bi$ 对应复平面上的点 $Z(a,b)$，也对应向量 $\overrightarrow{OZ}$。于是加减法对应向量加减，模 $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ 对应点到原点的距离。设 $z_1$、$z_2$ 对应 $Z_1$、$Z_2$，则

$$ |z_1-z_2|=|Z_1Z_2| $$

这是复数几何意义里最有用的一条。把含 $z$ 的方程两边都写成到定点的距离，就能判断轨迹是直线还是圆。例如 $|z-z_0|=r$ 是以 $z_0$ 为圆心、$r$ 为半径的圆；$|z-z_1|=|z-z_2|$ 是线段 $Z_1Z_2$ 的垂直平分线。

2.2 模与共轭的性质

对任意复数 $z$，

$$ z\bar z=|z|^2=|\bar z|^2 $$

这条恒等式把模的平方变成不含 $i$ 的实数，是分母实数化、化简求值的常用工具。共轭还满足

$$ \overline{z_1\pm z_2}=\overline{z_1}\pm\overline{z_2},\qquad \overline{z_1z_2}=\overline{z_1}\,\overline{z_2},\qquad \overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}} $$

另外 $z+\bar z=2\operatorname{Re}(z)$、$z-\bar z=2i\operatorname{Im}(z)$。$\bar z=z$ 当且仅当 $z$ 是实数，$\bar z=-z$ 当且仅当 $z$ 是纯虚数或零。

2.3 模的三角不等式

对任意两个复数，

$$ ||z_1|-|z_2||\le|z_1\pm z_2|\le|z_1|+|z_2| $$

右边是三角形两边之和不小于第三边，左边是两边之差不大于第三边。取等条件：$z_1$、$z_2$ 对应的向量同向时右边取等号，反向时左边取等号。求 $|z_1+z_2|$ 的最值，基本就是套这条不等式或画几何图形。

2.4 乘法与旋转

复数乘法的三角形式是模相乘、辐角相加，

$$ z_1z_2=r_1r_2\big[\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\big] $$

特别地，乘以 $i$ 相当于辐角加 $\dfrac{\pi}{2}$，即把对应向量绕原点逆时针旋转 $90^\circ$，模不变；乘以 $-i$ 则顺时针旋转 $90^\circ$。这个事实常用来处理旋转对称、正多边形顶点一类的题目。

2.5 单位立方根 $\omega$

方程 $z^3=1$ 在复数范围内有三个根：$1$ 和

$$ \omega=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i,\qquad \omega^2=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i $$

$\omega$ 也叫 $1$ 的三次单位根，基本性质有

$$ \omega^3=1,\qquad 1+\omega+\omega^2=0,\qquad \omega^2=\bar\omega,\qquad \frac1\omega=\omega^2 $$

由此 $\omega^n$ 的取值只与 $n$ 除以 $3$ 的余数有关，周期为 $3$。化简含 $\omega$ 的高次式，先想办法降次，再用 $1+\omega+\omega^2=0$ 的代换。

2.6 实系数方程虚根成对

设实系数一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）有一个虚根 $z_0=m+ni$（$n\ne0$），那么它的共轭 $\bar z_0=m-ni$ 也是方程的根，两根成对出现。由韦达定理，

$$ z_0+\bar z_0=-\frac ba,\qquad z_0\bar z_0=\frac ca $$

两根之和、两根之积都是实数，这也解释了实系数方程为什么系数可以不用复数。已知一个虚根求方程，或求方程中的实数参数，用这两条最省事。

3 经典例题

例 1（由模相等求轨迹） 复数 $z$ 满足 $|z-1|=|z+i|$，求 $z$ 对应点的轨迹。

解：设 $z=x+yi$（$x,y\in\mathbb{R}$），则

$$ |z-1|=\sqrt{(x-1)^2+y^2},\qquad |z+i|=\sqrt{x^2+(y+1)^2} $$

两边平方并化简：

$$ (x-1)^2+y^2=x^2+(y+1)^2\ \Longrightarrow\ -2x=2y\ \Longrightarrow\ x+y=0 $$

轨迹是复平面内的一条直线。

例 2（模的最值） 已知 $|z|=1$，求 $|z-3+4i|$ 的最大值与最小值。

解：把式子写成两点距离，

$$ |z-3+4i|=|z-(3-4i)| $$

点 $3-4i$ 到原点的距离为 $\sqrt{3^2+(-4)^2}=5$。点 $z$ 在以原点为圆心、$1$ 为半径的圆上，圆上点到点 $3-4i$ 的距离最大为圆心距加半径，最小为圆心距减半径：

$$ |z-3+4i|_{\max}=5+1=6,\qquad |z-3+4i|_{\min}=5-1=4 $$

例 3（乘以 $i$ 的旋转） 已知 $z=1+\sqrt3 i$，求 $iz$，并说明它的几何意义。

解：直接相乘，

$$ iz=i(1+\sqrt3 i)=i+\sqrt3 i^2=-\sqrt3+i $$

$z$ 对应点 $(1,\sqrt3)$，辐角为 $60^\circ$；$iz$ 对应点 $(-\sqrt3,1)$，辐角为 $150^\circ$。模都是 $2$，辐角增加了 $90^\circ$，即向量绕原点逆时针旋转了 $90^\circ$。

例 4（单位立方根） 设 $\omega=-\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}{2}i$，求 $\omega^3+\omega^2+\omega+1$ 的值。

解：由 $\omega^3=1$ 与 $1+\omega+\omega^2=0$，

$$ \omega^3+\omega^2+\omega+1=1+(\omega^2+\omega+1)=1+0=1 $$

例 5（实系数方程虚根成对） 已知实系数方程 $x^2+px+q=0$ 有一个根 $1+2i$，求 $p$、$q$。

解：实系数方程的虚根成对，另一个根是 $1-2i$。由韦达定理，

$$ -p=(1+2i)+(1-2i)=2\ \Longrightarrow\ p=-2 $$

$$ q=(1+2i)(1-2i)=1-(2i)^2=1+4=5 $$

例 6（用 $z\bar z$ 求复数） 已知复数 $z$ 满足 $z\bar z=4$ 且 $z+\bar z=2$，求 $z$。

解：设 $z=a+bi$（$a,b\in\mathbb{R}$），则 $\bar z=a-bi$，

$$ z\bar z=a^2+b^2=4,\qquad z+\bar z=2a=2 $$

由第二式得 $a=1$，代入第一式得 $b^2=3$，即 $b=\pm\sqrt3$。所以

$$ z=1+\sqrt3 i\quad\text{或}\quad z=1-\sqrt3 i $$