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阶段讲义

直接可学的教材 · 每阶段 = 36 小时 = 1 周

怎么用:每个阶段的页面里,数学和编程的完整讲解 + 例题 + 作业都在。 不需要再去找教材——直接读、直接做作业。

各含:概念讲解 → 例题(带完整步骤)→ 常见陷阱 → 作业(带勾选框)→ 自评问题
另有三类附加内容:
· 🔧 技能卡——读报错、查文档、循环排查、函数调试。自学的命脉,每阶段一张
· 🧠 认知科学连接——这些知识跟你的专业有什么关系
· ✅ 可验证——代码实跑、数值断言用代码核算过;无法验证的概念性类比会明确标注

大一上 · 已发布

01
函数与数列极限 · Python 环境与基础类型
数学:函数三要素、复合函数、ε-N 语言、极限四则运算、收敛性质、单调有界准则、数学归纳法
编程:跑通 Jupyter、变量是"标签"、基本类型、input 返回字符串、f-string、浮点数精度、numpy / matplotlib 入门
技能:读懂报错信息(traceback 从哪读起、中文标点陷阱)
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02
函数极限与连续 · 运算符与条件语句
数学:ε-δ 语言、左右极限、两个重要极限、等价无穷小、间断点分类、零点存在定理 / 二分法
编程:整除/取余、比较与逻辑运算、短路求值、if/elif/else、布尔真值
技能:help() / dir() 自己找答案
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03
导数与微分(一)· 循环
数学:导数的定义、几何意义、基本求导表、可导 vs 连续、微分估算
编程:for / while、range、break / continue、循环嵌套、死循环怎么逃
技能:循环出错四步排查法 | 数值微分的截断误差 vs 舍入误差
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04
求导法则 · 函数(一)
数学:四则运算、链式法则 ★★、反函数、隐函数、高阶导数、反向传播 = 链式法则
编程:定义与调用、return vs print ★、多返回值、作用域、文档字符串、sympy
技能:函数返回 None 的三种原因 | assert 断言
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05
中值定理与洛必达 · 函数(二)
数学:罗尔定理 · 拉格朗日中值定理 ★ · 洛必达法则 ★★(含失效情形)
编程:默认参数、默认值何时求值、可变默认参数的坑 ⚠️⚠️、None 哨兵
技能:给自己的函数写检查用例 | 连接:可变默认参数 ↔ 实验的顺序效应
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06
导数的应用(一)· 作用域与参数类型
数学:单调性判据 · 费马引理 · 极值两个充分条件 · 闭区间最值 · 优化四步法
编程:LEGB 作用域 · global / nonlocal · *args / **kwargs · 位置-only / 关键字-only
技能:读懂别人的函数签名 | 连接:倒 U 型曲线 ↔ 极大值、最优性假设
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07
凹凸性与函数作图 · 列表与可变性陷阱
数学:凹凸性(含命名混乱提醒)· 拐点 · 三种渐近线 · 函数作图六步
编程:切片 · 列表方法 · 别名 vs 拷贝 ⚠️⚠️ · 浅拷贝 / 深拷贝 · == vs is
技能:画内存图理解可变性 | 连接:别名陷阱 ↔ 原始数据被污染
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08
行列式 · 克拉默法则 | 字典与集合
数学:二阶 / 三阶行列式 · 萨吕斯法则 · 行列式九条性质 · 克拉默法则及三个局限
编程:字典 · get vs [] · 可哈希 · 集合与集合运算 · 去重
技能:数据结构怎么选(三选一清单)| 连接:行列式为 0 ↔ 多重共线性(实算验证)
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09
矩阵运算 · 逆矩阵 | 元组 · 字符串深入
数学:矩阵乘法(AB≠BA)· 转置 · 单位矩阵 · 逆矩阵 ★★ · 伴随矩阵法
编程:元组(不可变、能当键)· 解包与交换 · 字符串切片 · split/join · f-string 对齐
技能:字符串怎么切、怎么格式化 | 连接:协方差矩阵的逆 ↔ 精度矩阵(实算验证)
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10
向量组与线性方程组 | 文件读写 · 异常处理
数学:线性相关 / 无关 · 秩 ★ · 高斯消元与 rref · 解的结构 ★★ · 三种解的情况判定
编程:with open · 三种读法 · w 会清空文件 ⚠️ · pathlib 路径 · try/except 与常见异常
技能:文件读写与路径 | 连接:秩亏 ↔ 参数不可识别(条件数实算 2.5×10¹⁰)
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11
不定积分(换元 / 分部)| 模块与推导式
数学:原函数与 +C · 基本积分表 · 凑微分 ★ · 分部积分 ★★ · LIATE 选 u
编程:拆文件 · import 四种写法 · __name__ == "__main__" · 推导式 · 生成器表达式
技能:拆分代码成多个文件 | 连接:反应时分布的期望是一个积分(三法互验)
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12
定积分及应用 | 面向对象(一)
数学:黎曼和 · 牛顿-莱布尼茨 ★★ · 微积分基本定理 · 面积 / 体积 / 平均值 · 反常积分
编程:为什么需要类 · __init__ 与 self · 实例 vs 类属性(可变类属性坑 ⚠️)· 方法
技能:类与实例的关系 | 连接:心理物理函数、信号检测论 d′(实算闭合验证)
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13
向量空间与特征值(一)| 面向对象(二)· Git 基础
数学:基与维数 · 特征值与特征向量 ★★ · 特征多项式 · Σλ=tr(A)、Πλ=det(A) · 复特征值
编程:继承与 super() · 魔术方法 · @property · 组合 vs 继承 · Git 三个区域 · .gitignore
技能:Git 基本工作流 | 连接:协方差矩阵的特征值 ↔ PCA(第一主成分解释 93%)
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14
高数期末复习 | 综合小项目
数学:全景知识地图 · 核心公式总表 · 六类题型套路 · 高频错误 12 条 · 模拟卷 18 题 + 详解
编程:反应时分析项目(4 模块 + 自检 + README + .gitignore,可跑可复现)· 清洗规则 · 文本报告
技能:从零把一个项目跑起来(五步排查)| 连接:间隔效应与提取练习(模型模拟)
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15
特征值(二)与对角化 | Git 进阶 · 调试器
数学:相似矩阵 · 对角化 A=PΛP⁻¹ ★★ · Aᵏ 的快速算法 · Fibonacci 与黄金比例 · 正交对角化
编程:Git 分支 · 合并与冲突解决 · 远程仓库 · 撤销操作的危险等级 · breakpoint() 与 pdb
技能:用调试器定位 bug | 连接:马尔可夫链稳态 = 特征值 1 的特征向量(两法互验)
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16
线代复习 · SVD 启蒙 | 环境管理与阶段总结
数学:线代全景回顾 · SVD ★(A=UΣVᵀ) · 奇异值²=AᵀA 特征值 · Eckart-Young 低秩近似 · 伪逆
编程:venv / conda · requirements.txt · 换电脑复现流程 · 大一上 16 阶段总结
技能:换电脑怎么复现环境 | 连接:RSA 与 MDS = SVD 的出场(实算完美还原距离)
→

说明

大一上 16 个阶段全部发布。 每份讲义都是完整可学的:数学正文 + 编程正文 + 技能卡 + 认知科学连接 + 作业 + 自评。

每份讲义里的代码和数学结论我都实跑验证过。 用 ~/miniconda3/bin/python 验证.py 可以一键复查全部内容 (代码块渲染、链接可达、路径无硬编码、各模块自检、讲义结构完整性)。

实跑才发现的错误(已全部修正):
· 阶段 1 里 (1+1/n)ⁿ 的收敛速度最初写错(n=50 时才 2.69,不是接近 e)
· 阶段 3 里"h 太小时误差变大"的说法,在 f(x₀)=0 处不会出现——已补上前提条件
· 阶段 6 里曾把 pow 当成位置-only 函数,实测它可以用关键字传参
· 阶段 3 曾用"凹"描述 f″<0 的学习曲线,与同济约定(f″<0 为凸)矛盾——已改为形状描述
· 阶段 2、5、8 里 \|x\| 会渲染成双竖线 ‖x‖ 而不是绝对值 |x|——已改为 \lvert x\rvert
· 阶段 12 里 a.mean_rt is b.mean_rt 最初注释写反了——实测是 False(绑定方法每次访问都新建)
· 阶段 9 写讲义时,sympify("x**5") 造出的符号和声明的符号不是同一个,导致积分结果假通过——靠实跑抓到