选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程
人教A版（2019）选择性必修第一册 · 河南高二。
椭圆、双曲线、抛物线合称圆锥曲线，是高考解析几何解答题的主战场。定义里的几何条件、标准方程的形式、离心率与渐近线，这几组结论必须分清，压轴题常围绕它们与直线联立后的计算展开。
1 知识点总结
1.1 椭圆
定义：平面内到两定点 $F_1,F_2$ 的距离之和等于常数 $2a$（且 $2a>|F_1F_2|=2c$）的点的轨迹。若 $2a=2c$，轨迹是线段 $F_1F_2$；若 $2a<2c$，无轨迹。
标准方程（其中 $a>b>0$）：
- 焦点在 $x$ 轴：$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$，焦点 $(\pm c,0)$；
- 焦点在 $y$ 轴：$\dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{x^2}{b^2}=1$，焦点 $(0,\pm c)$。
三者关系 $b^2=a^2-c^2$，也就是 $a^2=b^2+c^2$。判断焦点在哪条轴，看分母大小，$a^2$ 总在大的分母上。
离心率 $e=\dfrac ca\in(0,1)$。$e$ 越接近 $1$，椭圆越扁；越接近 $0$，越接近圆。椭圆上一点 $P$ 与两焦点构成的三角形叫焦点三角形，由定义知 $|PF_1|+|PF_2|=2a$，再配合余弦定理就能求 $\angle F_1PF_2$。
例 1 已知椭圆的焦点为 $F_1(-2,0)$，$F_2(2,0)$，椭圆上一点 $P$ 满足 $|PF_1|+|PF_2|=6$，求椭圆的标准方程及离心率。
解：由定义 $2a=6$，得 $a=3$。又 $c=2$，所以
$$ b^2=a^2-c^2=9-4=5 $$
焦点在 $x$ 轴上，标准方程为
$$ \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1 $$
离心率 $e=\dfrac ca=\dfrac23$。
例 2 已知方程 $\dfrac{x^2}{m}+\dfrac{y^2}{4}=1$ 表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆，求 $m$ 的取值范围。
解：表示椭圆要求两个分母都为正，即 $m>0$。
焦点在 $y$ 轴上，要求 $y^2$ 项的分母大于 $x^2$ 项的分母，即 $4>m$。
所以 $m$ 的取值范围是 $0<m<4$。
椭圆关于两条坐标轴和原点都对称，四个顶点为 $(\pm a,0)$、$(0,\pm b)$，取值范围是 $-a\le x\le a$，$-b\le y\le b$。过焦点且垂直于长轴的弦叫通径，长为 $\dfrac{2b^2}a$。
直线与椭圆联立时，一般把直线方程代入椭圆方程，整理成关于 $x$（或 $y$）的一元二次方程，再用韦达定理处理弦长、中点、面积等问题。联立前先看直线是否可能垂直于坐标轴，免得漏掉斜率不存在的那种。
1.2 双曲线
定义：平面内到两定点距离之差的绝对值等于常数 $2a$（且 $0<2a<2c=|F_1F_2|$）的点的轨迹。若 $2a=2c$，轨迹是两条射线；若 $2a>2c$，无轨迹。绝对值不能丢，丢了只剩一支。
标准方程：
- 焦点在 $x$ 轴：$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$，焦点 $(\pm c,0)$；
- 焦点在 $y$ 轴：$\dfrac{y^2}{a^2}-\dfrac{x^2}{b^2}=1$，焦点 $(0,\pm c)$。
三者关系 $c^2=a^2+b^2$，这里 $c$ 最大，和椭圆正好相反。
渐近线：焦点在 $x$ 轴时 $y=\pm\dfrac ba x$；焦点在 $y$ 轴时 $y=\pm\dfrac ab x$。记忆办法是把标准方程里的 $1$ 换成 $0$，再解出 $y$，就不容易记反。渐近线相同的双曲线可以统一写成 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=\lambda$（$\lambda\ne0$），$\lambda>0$ 时焦点在 $x$ 轴，$\lambda<0$ 时焦点在 $y$ 轴。
离心率 $e=\dfrac ca\in(1,+\infty)$。$e$ 越大，开口越开阔。
例 3 已知双曲线 $\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1$，求它的焦点坐标、渐近线方程与离心率。
解：由方程得 $a^2=9$，$b^2=16$，所以 $a=3$，$b=4$，
$$ c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{9+16}=5 $$
焦点在 $x$ 轴上，故焦点为 $(\pm5,0)$。渐近线为
$$ y=\pm\frac ba x=\pm\frac43 x $$
离心率 $e=\dfrac ca=\dfrac53$。
例 4 已知双曲线的渐近线方程为 $y=\pm\dfrac12x$，且经过点 $P(4,\sqrt3)$，焦点在 $x$ 轴上，求它的标准方程。
解：焦点在 $x$ 轴上，设方程为 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$，则渐近线 $y=\pm\dfrac ba x$，由已知得 $\dfrac ba=\dfrac12$，即 $b=\dfrac a2$。
把 $P(4,\sqrt3)$ 代入方程：
$$ \frac{16}{a^2}-\frac{3}{b^2}=1 $$
代入 $b^2=\dfrac{a^2}4$，得 $\dfrac{16}{a^2}-\dfrac{12}{a^2}=1$，即 $\dfrac4{a^2}=1$，所以 $a^2=4$，$b^2=1$。
故双曲线方程为
$$ \frac{x^2}4-y^2=1 $$
当 $a=b$ 时，双曲线叫等轴双曲线，此时渐近线为 $y=\pm x$，两条渐近线互相垂直，离心率 $e=\sqrt2$。实轴长与虚轴长相等的双曲线都是等轴双曲线。
双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 关于两条坐标轴和原点都对称，顶点为 $(\pm a,0)$，取值范围是 $|x|\ge a$。实轴长为 $2a$，虚轴长为 $2b$。
1.3 抛物线
定义：平面内到定点 $F$ 与定直线 $l$（$F\notin l$）距离相等的点的轨迹。定点是焦点，定直线是准线。
标准方程（其中 $p>0$）：
| 方程 | 焦点 | 准线 | 开口方向 |
|---|---|---|---|
| $y^2=2px$ | $\left(\dfrac p2,0\right)$ | $x=-\dfrac p2$ | 向右 |
| $y^2=-2px$ | $\left(-\dfrac p2,0\right)$ | $x=\dfrac p2$ | 向左 |
| $x^2=2py$ | $\left(0,\dfrac p2\right)$ | $y=-\dfrac p2$ | 向上 |
| $x^2=-2py$ | $\left(0,-\dfrac p2\right)$ | $y=\dfrac p2$ | 向下 |
抛物线的离心率恒为 $1$。解题时经常把「到焦点的距离」换成「到准线的距离」，这是定义最直接的用法。对 $y^2=2px$ 上一点 $P(x_0,y_0)$，到焦点的距离就是焦半径 $x_0+\dfrac p2$。
例 5 已知抛物线 $y^2=8x$ 上一点 $P$ 到焦点的距离为 $5$，求 $P$ 到 $y$ 轴的距离。
解：由 $y^2=8x$ 得 $2p=8$，$p=4$，焦点 $F(2,0)$，准线 $x=-2$。
设 $P(x_0,y_0)$，由定义「到焦点的距离等于到准线的距离」，
$$ |PF|=x_0+2=5 $$
得 $x_0=3$，所以 $P$ 到 $y$ 轴的距离为 $3$。
抛物线 $y^2=2px$ 上过焦点且垂直于对称轴的弦叫通径，长为 $2p$。过焦点的弦叫焦点弦，把弦的两个端点分别用焦半径 $x+\dfrac p2$ 表示，往往能把弦长问题化得很简单。
抛物线只有一条对称轴，顶点在原点，图象向开口方向无限延伸。判断一条曲线是不是抛物线，看它能否写成 $y^2=\pm2px$ 或 $x^2=\pm2py$ 的形式。
2 易错题总结
| 易错点 | 常见错法 | 正确做法 | 原因 |
|---|---|---|---|
| 椭圆关系式记混 | 用 $c^2=a^2+b^2$ | 椭圆是 $b^2=a^2-c^2$，即 $a^2=b^2+c^2$ | 椭圆里 $a$ 最大，是长半轴 |
| 双曲线关系式记混 | 用 $a^2=b^2+c^2$ | 双曲线是 $c^2=a^2+b^2$ | 双曲线里 $c$ 最大 |
| 焦点位置判断 | 只看常数项符号，不看分母 | 看 $x^2,y^2$ 项系数的正负或分母大小，先定轴再写方程 | 标准方程的分母决定焦点在哪条坐标轴 |
| 双曲线定义缺绝对值 | 写成 $|PF_1|-|PF_2|=2a$ | 必须是 $\big||PF_1|-|PF_2|\big|=2a$ | 去掉绝对值只得到一支 |
| 双曲线定义的范围 | 不管 $2a$ 与 $2c$ 的大小 | 必须满足 $0<2a<2c$ | 否则轨迹退化为射线或不存在 |
| 抛物线焦点与准线 | 把 $y^2=2px$ 的焦点写成 $(p,0)$ | 焦点是 $\left(\dfrac p2,0\right)$，准线 $x=-\dfrac p2$ | 焦准距为 $p$，焦点到顶点的距离是 $\dfrac p2$ |
| 离心率取值范围 | 让三种曲线的 $e$ 随意取值 | 椭圆 $0<e<1$，双曲线 $e>1$，抛物线 $e=1$ | 三种曲线正是由离心率区分 |
2.1 易错典型题
题 1 已知双曲线 $\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1$，求它的渐近线方程和离心率。
错法：按椭圆的习惯取 $c^2=a^2-b^2=16-9=7$，得 $c=\sqrt7$，于是离心率 $e=\dfrac ca=\dfrac{\sqrt7}{4}$。这个结果小于 $1$，其实已经暴露了错误。
正解：双曲线中 $a^2=16$，$b^2=9$，所以 $a=4$，$b=3$，$c$ 由 $c^2=a^2+b^2$ 给出：
$$ c=\sqrt{16+9}=5 $$
焦点在 $x$ 轴上，渐近线为 $y=\pm\dfrac ba x=\pm\dfrac34 x$，离心率 $e=\dfrac ca=\dfrac54$。
要点：椭圆用 $a^2=b^2+c^2$，双曲线用 $c^2=a^2+b^2$，两式别记反。如果算出的双曲线离心率小于 $1$，一定是公式用错了，这是最省事的自查。
题 2 已知抛物线 $x^2=4y$，求它的焦点坐标与准线方程。
错法：看成 $y^2=4x$，得焦点 $(1,0)$，准线 $x=-1$，开口方向也判断错了。
正解：$x^2=4y$ 开口向上，对照 $x^2=2py$，由 $2p=4$ 得 $p=2$，焦点的横坐标为 $0$，故焦点为
$$ \left(0,\frac p2\right)=(0,1) $$
准线为 $y=-\dfrac p2=-1$。
要点：先认清是 $y^2=\pm2px$ 还是 $x^2=\pm2py$，再确定焦点在哪条坐标轴的正负方向。无论开口朝哪，焦点到顶点的距离总是 $\dfrac p2$。
题 3 已知椭圆 $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$0<b<2$）的离心率为 $\dfrac{\sqrt3}2$，求 $b$ 的值。
错法：看到 $b^2$ 的分母较小，误以为长半轴是 $b$，把 $a^2$ 取成 $b^2$，后面的关系式全跟着错。
正解：$x^2$ 项的分母 $4$ 较大，所以 $a^2=4$，$a=2$。由离心率 $e=\dfrac ca=\dfrac{\sqrt3}2$ 得 $c=\sqrt3$。再由 $b^2=a^2-c^2=4-3=1$，得 $b=1$。
要点：椭圆里 $a^2$ 总在较大的分母上。已知离心率时，先由 $e$ 定出 $c$，再用 $a^2=b^2+c^2$ 反解 $b$，不要直接把 $a,c$ 的位置弄反。