必修二 第九章 统计

人教A版（2019）必修第二册 · 河南高二。
本章研究怎样从数据中提取信息，常与概率、函数图象结合，是高考统计与概率大题的前半段。

1 知识点总结

1.1 随机抽样

抽样就是从总体中取出一部分个体作为样本，再用样本推断总体。样本要能代表总体，推断才可靠。

简单随机抽样：从总体中逐个不放回地抽取，每个个体被抽到的机会相等，常用抽签法和随机数法。它适合总体容量较小的情况，否则编号造签太麻烦。

分层随机抽样：当总体由差异明显的几部分组成时，先按这些部分分层，再在各层内独立地做简单随机抽样。层与层之间差异大、层内个体差异小，这样抽出的样本更能反映总体结构。各层抽取的个数按比例分配：

$$ \frac{n_1}{N_1}=\frac{n_2}{N_2}=\cdots=\frac{n}{N} $$

其中 $N$ 是总体容量，$n$ 是样本容量，$N_i$ 是第 $i$ 层的个体数，$n_i$ 是在该层抽取的个体数。

例 1 某校高二有学生 900 人，其中男生 500 人、女生 400 人。用分层随机抽样抽取容量为 45 的样本，男、女生各抽多少人？

解：抽样比为 $45/900=1/20$。男生抽 $500\times\dfrac1{20}=25$ 人，女生抽 $400\times\dfrac1{20}=20$ 人。

分层抽样下，总体平均数可由各层平均数加权估计：

$$ \bar{w}=\frac{N_1}{N}\bar{x}_1+\frac{N_2}{N}\bar{x}_2 $$

1.2 用样本估计总体

频率分布直方图。把数据分组后，每组的频率是该组频数除以样本容量。画直方图时纵轴标的量是

$$ \frac{\text{频率}}{\text{组距}} $$

若把纵轴直接当成频率，矩形面积就不再等于频率了。正确做法下，每个小矩形的面积恰为该组频率，所有矩形面积之和为 1。

用直方图估计数字特征：

• 众数取最高矩形底边中点的横坐标。
• 中位数是使左右两侧矩形面积各为 $0.5$ 的那个横坐标。
• 平均数取各组的组中值（区间两端点的平均值）乘以对应频率，再求和。

百分位数。一组数据的第 $p$ 百分位数，是把数据从小到大排列后，使小于或等于它的数据占比至少 $p\%$ 的那个数。先算位置

$$ i=n\times p\% $$

若 $i$ 不是整数，取大于 $i$ 的最小整数对应的数据；若 $i$ 是整数，取第 $i$ 个和第 $i+1$ 个数据的平均数。

平均数与方差。样本平均数

$$ \bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i $$

方差刻画数据的离散程度，越大越分散：

$$ s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2 $$

标准差 $s=\sqrt{s^2}$，与原始数据同单位。教材口径一律除以 $n$。

例 2 某班 50 名学生成绩分组及频率如下表，求平均数的估计值和中位数。

解：各组的组中值为 55、65、75、85、95。

$$ \bar{x}=55\times0.1+65\times0.2+75\times0.4+85\times0.2+95\times0.1=75 $$

求中位数时累计频率，前两组累计 $0.3$，第三组需补 $0.2$。第三组组距为 10，$0.2/0.4=0.5$，故中位数为 $70+0.5\times10=75$。

例 3 求数据 $2,4,4,4,5,5,7,9$ 的平均数与方差。

解：$\bar{x}=\dfrac{2+4+4+4+5+5+7+9}{8}=5$。

$$ s^2=\frac{(2-5)^2+3\times(4-5)^2+2\times(5-5)^2+(7-5)^2+(9-5)^2}{8} $$

$$ =\frac{9+3+0+4+16}{8}=4 $$

标准差 $s=2$。

例 4 求数据 $3,5,7,8,10,12,15,20$ 的第 75 百分位数。

解：$n=8$，位置 $i=8\times75\%=6$，是整数，取第 6 个和第 7 个数据的平均数：

$$ \frac{12+15}{2}=13.5 $$

例 5 已知一组数据每个数都加上 10，平均数和方差各有什么变化？

解：设原数据平均数为 $\bar{x}$，方差为 $s^2$。每个数加 10 后，平均数变为 $\bar{x}+10$；各偏差 $x_i+10-(\bar{x}+10)=x_i-\bar{x}$ 不变，所以方差仍为 $s^2$。整体平移只改变平均数，不改变离散程度。

1.3 统计案例

教材用体重与身高等实际数据，示范怎样用样本的频率分布、平均数和方差为总体画像。方法仍是 9.2 那几件工具，只是放进完整案例里走一遍，读的时候留意每步在回答什么问题。

2 易错题总结

2.1 易错典型题

题 从某班抽得 5 名学生的身高 $160,165,170,175,180$，求方差。

错法：算完偏差平方和后除以 4，得 $s^2=\dfrac{250}{4}=62.5$。

正解：平均数为 $\bar{x}=\dfrac{160+165+170+175+180}{5}=170$。偏差为 $-10,-5,0,5,10$，平方和为 $100+25+0+25+100=250$。

$$ s^2=\frac{250}{5}=50 $$

要点：教材口径的方差分母是样本容量 $n$。算完先检查除数，再写答案。