必修二 第六章 平面向量及其应用
人教A版（2019）必修第二册 · 河南高二。
本章是向量方法的起点，高考中常与解三角形、解析几何联合出题，务必把「数」与「形」的换算练熟。
1 知识点总结
1.1 平面向量的概念
向量是既有大小又有方向的量，记作 $\vec{a}$，大小叫模，记作 $|\vec{a}|$。
只有大小没有方向的量（如长度、面积）是数量。
几个必须分清的对象：
- 零向量 $\vec{0}$：模为 $0$，方向任意。方向任意意味着它可以和任何向量平行。
- 单位向量：模为 $1$ 的向量。注意「单位向量」不唯一，同一方向只有一个，不同方向有无数个。
- 平行（共线）向量：$\vec{a}\parallel\vec{b}$，指方向相同或相反。规定 $\vec{0}$ 与任意向量平行。
- 相等向量：大小相等且方向相同。向量只由大小和方向决定，与起点位置无关，所以向量可以自由平移。
1.2 平面向量的运算
加法用三角形法则或平行四边形法则。坐标下直接对应相加：
$$ \vec{a}+\vec{b}=(x_1+x_2,\;y_1+y_2) $$
数乘 $\lambda\vec{a}$：$\lambda>0$ 时方向不变，$\lambda<0$ 时反向，模变为原来的 $|\lambda|$ 倍。
数量积（点乘）是一个数，不是向量：
$$ \vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos\theta=x_1x_2+y_1y_2 $$
其中 $\theta$ 是两向量的夹角，$\theta\in[0,\pi]$。由它派生出几个常用结论：
$$ |\vec{a}|=\sqrt{\vec{a}\cdot\vec{a}},\qquad \cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|} $$
$$ \vec{a}\perp\vec{b}\iff \vec{a}\cdot\vec{b}=0 $$
1.3 平面向量基本定理及坐标表示
若 $\vec{e_1},\vec{e_2}$ 是同一平面内两个不共线的向量，则任意向量 $\vec{a}$ 都能唯一地写成
$$ \vec{a}=\lambda_1\vec{e_1}+\lambda_2\vec{e_2} $$
这组 $\vec{e_1},\vec{e_2}$ 叫一组基底。常用坐标表示取标准正交基底 $(\vec{i},\vec{j})$，
此时 $\vec{a}=(x,y)$。
坐标下要区分两组条件，最易混：
| 关系 | 坐标条件 |
|---|---|
| 平行 $\vec{a}\parallel\vec{b}$ | $x_1y_2-x_2y_1=0$ |
| 垂直 $\vec{a}\perp\vec{b}$ | $x_1x_2+y_1y_2=0$ |
例 1 已知 $\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(-3,1)$，求 $\vec{a}\cdot\vec{b}$ 与两向量夹角。
解：$\vec{a}\cdot\vec{b}=1\times(-3)+2\times1=-1$。
$|\vec{a}|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5$，$|\vec{b}|=\sqrt{(-3)^2+1^2}=\sqrt{10}$。
$$ \cos\theta=\frac{-1}{\sqrt5\cdot\sqrt{10}}=-\frac{1}{5\sqrt2}=-\frac{\sqrt2}{10} $$
因为 $\cos\theta<0$，夹角是钝角。
1.4 平面向量的应用
正弦定理：在 $\triangle ABC$ 中，
$$ \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R $$
（$R$ 为外接圆半径）。适合已知「两角一边」或「两边及其中一边对角」的情形。
余弦定理：
$$ a^2=b^2+c^2-2bc\cos A $$
适合已知「两边夹一角」或「三边」。求角时把它倒过来用：
$$ \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} $$
面积公式：$S=\dfrac12 ab\sin C=\dfrac12 bc\sin A=\dfrac12 ac\sin B$。
例 2 在 $\triangle ABC$ 中，$b=3$，$c=4$，$A=60^\circ$，求 $a$。
解：由余弦定理
$$ a^2=3^2+4^2-2\times3\times4\times\cos60^\circ=9+16-12=13 $$
所以 $a=\sqrt{13}$。
2 易错题总结
| 易错点 | 常见错法 | 正确做法 | 原因 |
|---|---|---|---|
| 平行向量的含义 | 认为 $\vec{a}\parallel\vec{b}$ 就是「方向相同」 | 方向相同或相反都算平行，$\vec{0}$ 与任意向量平行 | 平行只看是否共线，不看朝向 |
| 数量积与约分 | 由 $\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot\vec{c}$ 推出 $\vec{b}=\vec{c}$ | 移项得 $\vec{a}\cdot(\vec{b}-\vec{c})=0$，只能说明 $\vec{a}\perp(\vec{b}-\vec{c})$ | 数量积是数，不满足消去律 |
| 平行与垂直条件记混 | 平行用 $x_1x_2+y_1y_2=0$，垂直用 $x_1y_2-x_2y_1=0$ | 平行是叉积为零 $x_1y_2-x_2y_1=0$；垂直是点积为零 $x_1x_2+y_1y_2=0$ | 记忆口诀：平行「交叉减」，垂直「对应乘」 |
| 余弦定理符号 | 写成 $a^2=b^2+c^2+2bc\cos A$ | 中间是减号：$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ | 角为钝角时 $\cos A<0$，只有减号才对得上 |
| 三角形两解问题 | 用正弦定理求解时只取一个角 | 已知两边及其中一边对角（SSA）时，可能出现两解，要检验内角和是否成立 | $\sin\theta=k$ 在 $(0,\pi)$ 内一般有两个解 |
| 数量积的结果形式 | 把 $\vec{a}\cdot\vec{b}$ 写成向量 | 数量积是一个实数，$\lambda\vec{a}$ 才是向量 | 点乘降维：向量乘向量得数 |
2.1 易错典型题
题 已知 $|\vec{a}|=2$，$|\vec{b}|=3$，$\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角为 $120^\circ$，求 $|2\vec{a}-\vec{b}|$。
错法：直接写 $2\times2-3=1$。这是把向量的模当成了数在相减，方向信息全丢了。
正解：先平方再开方，
$$ |2\vec{a}-\vec{b}|^2=4|\vec{a}|^2-4\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2 $$
其中 $\vec{a}\cdot\vec{b}=2\times3\times\cos120^\circ=6\times\left(-\dfrac12\right)=-3$。代入：
$$ |2\vec{a}-\vec{b}|^2=4\times4-4\times(-3)+9=16+12+9=37 $$
所以 $|2\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{37}$。
要点：求向量的模，一律先平方，让它变成数量积，再开方。模不能直接加减。