阶段 03 讲义

数学 11h：高数 · 导数与微分（一）
编程 9h：循环（for / while）

第一部分 · 数学

1 导数的定义 ⭐

从实际问题来：一辆车走了 $s(t)$ 米，问它在时刻 $t_0$ 的瞬时速度是多少？

平均速度好算：$\frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t_0+\Delta t) - s(t_0)}{\Delta t}$

但"瞬时"意味着 $\Delta t \to 0$。于是：

$$v(t_0) = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{s(t_0+\Delta t) - s(t_0)}{\Delta t}$$

这就是导数。

1.1 定义

$$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$$

也常写成：

$$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$$

其他记号：$y'$、$\frac{dy}{dx}$、$\frac{df}{dx}$

1.2 几何意义 ★

$$\frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$$

是割线的斜率。当 $\Delta x \to 0$，割线趋向切线。

所以：导数的几何意义 = 曲线在该点切线的斜率。

这带来两个直观：
- $f'(x_0) > 0$ → 曲线在上升
- $f'(x_0) < 0$ → 曲线在下降
- $f'(x_0) = 0$ → 切线水平（可能是极值点）

1.3 物理意义

导数是变化率：
- 位置 → 速度 → 加速度（速度的导数）
- 任何"某量的变化快慢"都是导数

1.4 用定义求导：完整例子

求 $f(x) = x^2$ 的导数

第一步：写出差商

$$\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \frac{(x+\Delta x)^2 - x^2}{\Delta x}$$

第二步：展开分子

$$= \frac{x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 - x^2}{\Delta x} = \frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x}$$

第三步：约掉 $\Delta x$（注意 $\Delta x \ne 0$）

$$= 2x + \Delta x$$

第四步：取极限 $\Delta x \to 0$

$$f'(x) = 2x$$

∎

套路：展开 → 约去 $\Delta x$ → 取极限。
关键在第 2 步到第 3 步：必须先把 $\Delta x$ 约掉，否则取极限会出现 0/0。

1.5 再练一个：$\sqrt{x}$

$$\frac{\sqrt{x+\Delta x} - \sqrt{x}}{\Delta x}$$

分子有理化（乘共轭）：

$$= \frac{(\sqrt{x+\Delta x} - \sqrt{x})(\sqrt{x+\Delta x} + \sqrt{x})}{\Delta x(\sqrt{x+\Delta x} + \sqrt{x})} = \frac{\Delta x}{\Delta x(\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x})}$$

$$= \frac{1}{\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}} \xrightarrow{\Delta x\to0} \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

技巧：遇到根号，有理化是标准操作。

2 基本求导公式表 ⭐（必须背）

$f(x)$	$f'(x)$
$C$（常数）	$0$
$x^n$	$nx^{n-1}$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$\tan x$	$\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^x \ln a$
$\ln x$	$\frac{1}{x}$
$\log_a x$	$\frac{1}{x\ln a}$
$\arcsin x$	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arctan x$	$\frac{1}{1+x^2}$

💡 记忆要点：
- 幂函数：指数降 1，原指数提到前面
- $e^x$ 是唯一"导数等于自己"的函数（这条很重要，后续解微分方程会用到）

3 可导与连续的关系 ⭐

定理：可导 ⟹ 连续（可导更强）

反之不成立：连续不一定可导。

经典反例：$f(x) = |x|$ 在 $x=0$ 处

连续吗？是的，图像不断
可导吗？不可导

为什么：用定义算

$$\lim_{\Delta x\to0^+}\frac{|0+\Delta x|-|0|}{\Delta x} = \frac{\Delta x}{\Delta x} = 1$$

$$\lim_{\Delta x\to0^-}\frac{|\Delta x|}{\Delta x} = \frac{-\Delta x}{\Delta x} = -1$$

左右极限不等 → 导数不存在。

几何上：$|x|$ 在 $x=0$ 处有个尖角，切线有"两种方向"，不唯一。

⚠️ 常见错误：以为"连续就能求导"。
记住：连续是"不断"，可导是"光滑"。

4 微分

定义：$dy = f'(x)\,dx$

意义：当 $x$ 变化 $dx$ 时，$y$ 变化量的线性主部。

几何：微分是切线上的增量，$\Delta y$ 是曲线上的增量。$dx$ 越小时两者越接近。

可微 ⟺ 可导（一元函数中这两件事等价）。

近似计算的应用：

$$f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\Delta x$$

例：估算 $\sqrt{4.02}$

取 $f(x)=\sqrt{x}$，$x_0=4$，$\Delta x = 0.02$
$f(4)=2$，$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$，$f'(4)=\frac14$
$\sqrt{4.02} \approx 2 + \frac14 \times 0.02 = 2.005$

真实值 2.004995… ✓ 非常接近

5 数学作业 S3

[ ] 1. 用定义求 $f(x)=x^2+3x$ 的导数
[ ] 2. 用定义求 $f(x)=\frac{1}{x}$ 的导数（提示：通分）
[ ] 3. 用定义求 $f(x)=\sqrt{x+1}$ 的导数（提示：有理化）
[ ] 4. 默写基本求导公式表（幂、指、对、三角）
[ ] 5. 判断"连续是否一定可导"，并举出一个反例，说明为什么它不可导
[ ] 6. 求 $f(x)=|x-2|$ 在 $x=2$ 处是否可导（用左右导数说明）
[ ] 7. 用微分估算 $\sqrt{9.05}$（提示：取 $x_0=9$）
[ ] 8.（Python）用数值差分近似导数，和解析结果对比，找出误差最小的 h

第 8 题参考代码：

import numpy as np

x0 = 3.0
真实值 = 2 * x0          # f(x)=x² 在 x=3 处的导数 = 6

for h in [1e-2, 1e-4, 1e-6, 1e-8, 1e-10, 1e-12, 1e-15]:
    近似 = ((x0 + h)**2 - x0**2) / h
    print(f"h={h:<8} 近似={近似:<20.10f} 误差={abs(近似 - 真实值):.3e}")

你会看到一张"两头翘"的表，误差先变小、后变大：

$h$ 误差

$10^{-2}$ $10^{-2}$

$10^{-6}$ $10^{-6}$

$10^{-8}$ $\mathbf{4\times10^{-8}}$ ← 最好

$10^{-10}$ $5\times10^{-7}$

$10^{-12}$ $5\times10^{-4}$

$10^{-15}$ $0.67$ ← 彻底崩了

为什么会两头翘：
- h 太大 → 差商本身就是近似的，截断误差大（误差 $\approx h$）
- h 太小 → $(x+h)^2$ 和 $x^2$ 两个数非常接近，相减时前面的有效数字被吃掉了，
剩下的全是噪声，舍入误差大（误差 $\approx \frac{\text{机器精度}}{h}$）

这叫灾难性抵消。最佳 h 在两者相交处，大约 $10^{-8}$。

⚠️ 有一个前提：上面能出现"h 太小反而崩"，要求 $f(x_0) \ne 0$。
像上面这样 $f(3)=9 \ne 0$，相减的两个数才真正接近，抵消才会发生。
如果换成在 $x_0=0$ 处测 $\sin x$（$\sin 0 = 0$），分子就是 $\sin h - 0$，
没有抵消，h 小到 $10^{-16}$ 也依然准确——现象不会出现。
所以别用那个点做验证，会以为讲义写错了。

💡 意义：这是数值计算的第一课，"把公式直接翻译成代码"经常不work。
后面学数值方法（数值积分、解方程）时会反复遇到这个权衡。

$h$	误差
$10^{-2}$	$10^{-2}$
$10^{-6}$	$10^{-6}$
$10^{-8}$	$\mathbf{4\times10^{-8}}$ ← 最好
$10^{-10}$	$5\times10^{-7}$
$10^{-12}$	$5\times10^{-4}$
$10^{-15}$	$0.67$ ← 彻底崩了

第二部分 · 编程

6 `for` 循环

最常用的循环，对一堆东西，每个都做一遍。

for i in range(5):
    print(i)
# 输出：0 1 2 3 4（注意：不含 5！）

range() 的三种用法：

range(5)          # 0,1,2,3,4
range(2, 6)       # 2,3,4,5      （含起点，不含终点）
range(0, 10, 3)   # 0,3,6,9      （步长为 3）
range(10, 0, -1)  # 10,9,...,1   （倒着数）

⚠️ range(n) 不含 n。这是最常见的 off-by-one（差一）错误来源。

遍历列表：

fruits = ["苹果", "香蕉", "橙子"]
for fruit in fruits:
    print(f"我喜欢{fruit}")

同时要索引和值（用 enumerate）：

for i, fruit in enumerate(fruits):
    print(f"{i}: {fruit}")
# 0: 苹果
# 1: 香蕉
# 2: 橙子

累加模式（非常常见）：

total = 0
for i in range(1, 101):
    total += i
print(total)      # 5050

💡 total += i 是 total = total + i 的简写。-= *= /= 同理。

7 `while` 循环

用于"不知道要循环多少次"的情况。

count = 0
while count < 5:
    print(count)
    count += 1

⚠️ 一定要让条件有机会变假！否则就是死循环。

上面如果忘了 count += 1，程序会永远打印 0。

典型用法：直到满足条件为止

secret = 7
guess = 0

while guess != secret:
    guess = int(input("猜一个数字："))
    if guess < secret:
        print("小了")
    elif guess > secret:
        print("大了")

print("猜对了！")

8 `break` 和 `continue`

关键字	作用
`break`	跳出整个循环
`continue`	跳过本次，进入下一次

# break：找到就停
for i in range(1, 100):
    if i * i > 50:
        print(f"第一个平方大于50的是 {i}")
        break
# 输出：第一个平方大于50的是 8

# continue：跳过偶数
for i in range(10):
    if i % 2 == 0:
        continue        # 跳过本次
    print(i)
# 输出：1 3 5 7 9

break 常用在"搜索"场景：

found = False
for x in data:
    if condition(x):
        found = True
        break

9 循环嵌套

for i in range(1, 4):
    for j in range(1, 4):
        print(f"{i}×{j}={i*j}", end="  ")
    print()      # 换行

输出：

1×1=1  1×2=2  1×3=3  
2×1=2  2×2=4  2×3=6  
3×1=3  3×2=6  3×3=9

print() 不传参数就输出一个换行。
end=" " 表示"输出完不换行，而是加两个空格"。

💡 理解嵌套：外层跑一次，内层跑一整轮。
上面的例子：外层 i 变化 3 次，每次内层 j 都跑 3 次 → 共 9 次。

10 死循环与怎么逃出来 ⚠️

while True:
    print("按 Ctrl+C 才能停下我")

在 Jupyter / 终端里，按 Ctrl + C（Windows 是 Ctrl + C 或 Ctrl + F2）可以中断。

💡 你一定会不小心写出死循环，
知道怎么逃出来才不会被卡住。

合法的死循环（配合 break 使用）：

while True:
    cmd = input("输入命令（q 退出）：")
    if cmd == "q":
        break
    print(f"执行：{cmd}")

这是"命令行菜单"的标准写法。

11 🔧 技能卡 3：循环出错，怎么查

循环的 bug 有个特点：它跑完了、没报错、但结果不对。这时候没有 traceback 可读，得靠自己。

11.1 四步排查法

① 先确认它到底跑没跑

for i in range(5):
    print("进来了", i)      # ← 如果一行都没打印，说明循环根本没进去

② 把范围缩小再看

把 range(1, 100) 临时改成 range(1, 5)，看前几轮到底发生了什么。

💡 这招叫缩小输入，是定位 bug 最有效的手段，也就是阶段 2 学的二分法思想：
每次排除一半，很快锁定问题在哪。小数据看逻辑，大数据看性能。

③ 每轮打印关键变量

total = 0
for i in range(1, 6):
    total += i
    print(f"i={i}  total={total}")     # ← 盯住每一轮的变化

④ 检查边界（off-by-one）

range(5) 只到 4，不含 5。这类"差一"错误是循环里最常见的 bug。

# 想算 1 到 5 的和，这样写漏了 5！
for i in range(5):        # 0,1,2,3,4  ← 少了 5，还多了 0
    total += i

11.2 循环专属的坑

现象	原因
循环体一次都没执行	条件一开始就是假；或 `range` 是空的
少算/多算一次	off-by-one，`range` 不含终点
死循环卡住	`while` 的条件永远为真；按 Ctrl+C 退出
累加结果不对	累加变量忘了初始化（`total = 0` 写在循环外）

⚠️ 最容易犯的：累加变量初始化写在了循环里面。

for i in range(1, 6):
    total = 0        # ❌ 每轮都被清零，最后只剩最后一个数
    total += i

初始化必须在循环外面。

12 🧠 这跟认知科学有什么关系

概念性内容，无法用代码验证，请对照文献。

导数 ↔ 学习曲线的"进步速度"。

把"练习次数"当自变量 $x$，"成绩"当因变量 $f(x)$，那么导数 $f'(x)$ 就是"进步速度"。

技能习得有个著名规律：进步速度随练习递减。也就是说：

$$f'(x) \text{ 本身在减小} \quad\Longleftrightarrow\quad f''(x) < 0$$

也就是说，学习曲线的形状是"先陡后平"，开头涨得快，后来越来越平。

怎么在图上认出来：曲线像一个拱形（∩），越往右越平。
阶段 7 会给它一个正式名字（凹凸性），注意那个名字在不同教材里叫法相反，
到时我会专门提醒。现在你只要记住形状：先陡后平。

这解释了"边际收益递减"：练习当然有用，只是同样的练习量，带来的提升越来越小。
这个现象在你自己身上就能观察到：第 1 小时学打字进步巨大，第 100 小时几乎看不出变化。

💡 对你有实际用处：既然学习曲线是先陡后平，那"每天 1 小时 × 7 天"和"7 小时 × 1 天"
在同一个阶段效果接近，但间隔重复能让曲线整体上移（记忆保持更久）。
这就是后面要讲的"分散练习优于集中练习"。

数值差分 ↔ 实验数据求变化率。

实验测出来的曲线是离散的点（每次试验一个数据点），没有解析表达式。
想求它的变化率，只能像第 8 题那样用差分近似导数——这就是科研里"算梯度"的实际做法。

⚠️ 诚实说明：上面"学习曲线先陡后平"是经验规律 + 常见模型（幂律、指数模型），
不是从公理推出的定理。不同任务、不同被试，曲线形状会变。
数学部分（$f''<0$ 意味着导数递减）我能保证；认知部分请以文献为准。

13 编程作业 S3

[ ] 1. 打印 1–100 的和（用 for）
[ ] 2. 打印九九乘法表（用嵌套循环）
[ ] 3. 判断并打印 100 以内的所有素数
[ ] 4. 用 while 写一个程序：不断输入数字，直到输入 0 为止，最后输出所有数字的和
[ ] 5. 写一个猜数字游戏：程序想一个 1–100 的数，用户猜，提示"大了/小了"，猜中后告诉用户猜了几次
[ ] 6. 陷阱体验：写一个 while True: 的死循环，用 Ctrl+C 中断它
[ ] 7. 打印斐波那契数列的前 20 项
[ ] 8.（技能）下面这段代码"想算 1–10 的平方和"，但结果是错的。
先用技能卡 3 的四步法定位，说清楚错在哪，再改对。

第 8 题的代码（先别跑，先自己读出来错在哪）：

for i in range(1, 11):
    total = 0
    total += i * i
print(total)

正确答案是 385。读完之后再跑一遍验证你的判断。

第 3 题提示（素数判断）：

for n in range(2, 101):
    is_prime = True
    for d in range(2, n):
        if n % d == 0:
            is_prime = False
            break        # 找到一个因子就够了
    if is_prime:
        print(n, end=" ")

第 7 题提示：

a, b = 1, 1        # 一行同时给两个变量赋值
for _ in range(20):
    print(a, end=" ")
    a, b = b, a + b

a, b = b, a + b 是 Python 的优雅写法：
等号右边的两个值先全部算好，然后才赋给左边。
所以这里不需要临时变量，a + b 用的是旧的 a。

对比一下其他语言的写法（要先存个临时变量）：

temp = a + b
a = b
b = temp

术语上这叫"同时赋值"（背后用到的是元组，阶段 9 会正式讲）。
现在你只要记住右边先算完、再赋值这一条规律就够用。

下划线 _ 表示"我不关心这个循环变量"（这里只是要循环 20 次）。

本阶段自评

数学：导数的几何意义是什么？为什么 $|x|$ 在 0 处不可导？
数学：$e^x$ 的导数是什么？（它有个独特性质，是什么？）
数学：为什么 h 太小反而让数值导数更不准？什么条件下才会出现这个现象？
编程：range(1, 5) 会生成哪些数？range(0, 10, 2) 呢？
编程：break 和 continue 的区别是什么？
技能：循环跑了但结果不对，第一步该做什么？
连接：为什么说"进步速度递减"等价于"学习曲线先陡后平"？
动手：第 6 题做了吗？你成功从死循环里逃出来了吗？

全部答得上 → 进阶段 4。