圆锥曲线 · 三级定义、拓展与经典例题

人教A版（2019）选择性必修第一册 第三章 · 河南高二。
本章的题大多从定义出发。把一级、二级、三级定义分清，再看拓展结论和例题，做题时先想"这题在用哪级定义"。

1 圆锥曲线的三级定义

1.1 第一定义（距离定义）

椭圆：平面内与两个定点 $F_1$、$F_2$ 的距离之和等于常数（大于 $|F_1F_2|$）的点的轨迹。

$$ |PF_1|+|PF_2|=2a\quad(2a>2c)\ \Longrightarrow\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,\qquad b^2=a^2-c^2 $$

双曲线：与两个定点距离之差的绝对值等于常数（小于 $|F_1F_2|$ 且不为 $0$）的点的轨迹。

$$ \bigl||PF_1|-|PF_2|\bigr|=2a\quad(0<2a<2c)\ \Longrightarrow\ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,\qquad b^2=c^2-a^2 $$

抛物线：与一个定点 $F$ 和一条定直线 $l$（$F\notin l$）距离相等的点的轨迹。

$$ |PF|=d(P,l)\ \Longrightarrow\ y^2=2px\quad(p>0) $$

第一定义里那种"系数相等"的写法最容易错，注意边界：

1.2 第二定义（统一定义）

动点 $M$ 到定点 $F$ 的距离与它到定直线 $l$（$F\notin l$）的距离之比等于常数 $e$，即

$$ \frac{|MF|}{d(M,l)}=e $$

• $0<e<1$：椭圆
• $e=1$：抛物线
• $e>1$：双曲线

$F$ 是焦点，$l$ 是对应的准线。焦点在 $x$ 轴上时，椭圆与双曲线的准线为 $x=\pm\dfrac{a^2}{c}$；抛物线 $y^2=2px$ 的准线是 $x=-\dfrac{p}{2}$，且 $e=1$ 时它正好满足第二定义。

第二定义把三种曲线收进一个式子，也是极坐标统一方程 $\rho=\dfrac{ep}{1-e\cos\theta}$ 的来源。题目里出现"到焦点距离"和"到准线距离"的比值，基本就是在考第二定义。

1.3 第三定义（斜率乘积定义）

设 $A_1(-a,0)$、$A_2(a,0)$ 是椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 的两个顶点，$P$ 是椭圆上异于 $A_1$、$A_2$ 的任意一点，则

$$ k_{PA_1}\cdot k_{PA_2}=-\frac{b^2}{a^2} $$

双曲线上同理，符号相反：

$$ k_{PA_1}\cdot k_{PA_2}=\frac{b^2}{a^2} $$

更一般的说法：若 $A$、$B$ 是曲线上关于原点对称的两点，$P$ 是曲线上任一点（且 $P\ne A,B$），则 $k_{PA}\cdot k_{PB}$ 也是这个定值。把定值记作 $\lambda$，椭圆 $\lambda<0$、双曲线 $\lambda>0$、圆 $\lambda=-1$。

第三定义的两种用法很常见：已知斜率之积反推 $a$、$b$ 求离心率；已知动点与两定点连线斜率之积为定值，判断轨迹是哪种圆锥曲线。

2 拓展知识

2.1 焦半径与焦点弦

设 $P(x_0,y_0)$ 在曲线上，$F_1$、$F_2$ 为焦点。

• 椭圆（焦点在 $x$ 轴）：$|PF_1|=a+ex_0$，$|PF_2|=a-ex_0$。
• 双曲线右支：$|PF_1|=ex_0+a$，$|PF_2|=ex_0-a$。
• 抛物线 $y^2=2px$：$|PF|=x_0+\dfrac{p}{2}$，这是抛物线最常用的焦半径公式。

过焦点的弦叫焦点弦。椭圆中过焦点、倾斜角为 $\theta$ 的弦长

$$ |AB|=\frac{2ab^2}{a^2-c^2\cos^2\theta} $$

垂直于长轴的那条焦点弦最短，称为通径，长度 $L=\dfrac{2b^2}{a}$。双曲线的通径也是 $\dfrac{2b^2}{a}$。

2.2 焦点三角形

$P$ 在椭圆上，$\angle F_1PF_2=\theta$，则焦点三角形面积

$$ S=b^2\tan\frac{\theta}{2} $$

双曲线上对应结论换成 $S=\dfrac{b^2}{\tan(\theta/2)}$。这类题常配合余弦定理：在 $\triangle F_1PF_2$ 里 $|F_1F_2|=2c$，把 $|PF_1|$、$|PF_2|$、$\theta$ 用余弦定理连起来。

2.3 离心率与形状

$e=\dfrac{c}{a}$。椭圆 $0<e<1$，$e$ 越大越扁；双曲线 $e>1$，$e$ 越大开口越阔。求离心率的套路是列出含 $a$、$b$、$c$ 的关系式，再换成 $a$、$c$。双曲线的渐近线斜率 $k=\dfrac{b}{a}=\sqrt{e^2-1}$，由此可以反推 $e$。

2.4 光学性质

• 椭圆：从一焦点发出的光线，经椭圆反射后必过另一焦点。
• 抛物线：平行于对称轴的光线反射后过焦点，探照灯、卫星接收天线就是这原理。
• 双曲线：射向一个焦点的光线反射后，反向延长线过另一焦点。

2.5 参数方程与极坐标

$$ \text{椭圆}:\begin{cases}x=a\cos\theta\\ y=b\sin\theta\end{cases}\qquad \text{双曲线}:\begin{cases}x=a\sec\theta\\ y=b\tan\theta\end{cases}\qquad \text{抛物线}:\begin{cases}x=2pt^2\\ y=2pt\end{cases} $$

把曲线写成参数方程，是求最值、判断点的位置的常用手段。极坐标下三种曲线统一为 $\rho=\dfrac{ep}{1-e\cos\theta}$（$p$ 为焦点到准线的距离）。

2.6 蒙日圆

椭圆的两条互相垂直的切线的交点轨迹是一个圆，称为蒙日圆：

$$ x^2+y^2=a^2+b^2 $$

它在解析几何压轴题里偶尔出现，记住这个结论可以省下推导时间。

2.7 共轭直径

椭圆的一组共轭直径，其斜率之积等于 $-\dfrac{b^2}{a^2}$，与第三定义是同一个结论在不同对象上的体现。共轭直径长度的平方和为定值 $a^2+b^2$。

3 经典例题

例 1（第三定义求离心率） 设椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\ (a>b>0)$ 的左右顶点为 $A_1$、$A_2$，$P$ 为椭圆上一点，且 $k_{PA_1}\cdot k_{PA_2}=-\dfrac12$，求椭圆的离心率。

解：由第三定义

$$ k_{PA_1}\cdot k_{PA_2}=-\frac{b^2}{a^2}=-\frac12\ \Longrightarrow\ \frac{b^2}{a^2}=\frac12 $$

于是

$$ e^2=1-\frac{b^2}{a^2}=1-\frac12=\frac12,\qquad e=\frac{\sqrt2}{2} $$

例 2（焦点三角形） 已知椭圆 $\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1$ 的焦点为 $F_1$、$F_2$，$P$ 是椭圆上一点，且 $\angle F_1PF_2=60^\circ$，求 $\triangle F_1PF_2$ 的面积。

解：$a=3$，$b=2$，代入焦点三角形面积公式

$$ S=b^2\tan\frac{\theta}{2}=4\cdot\tan30^\circ=4\cdot\frac{\sqrt3}{3}=\frac{4\sqrt3}{3} $$

例 3（第二定义判轨迹） 动点 $M$ 到定点 $F(2,0)$ 的距离与它到定直线 $l:x=8$ 的距离之比为 $\dfrac12$，求 $M$ 的轨迹方程。

解：比值 $e=\dfrac12<1$，轨迹是椭圆，$F(2,0)$ 是它的一个焦点，所以 $c=2$。准线 $x=8$ 对应焦点 $F$，由准线公式 $\dfrac{a^2}{c}=8$ 得 $a^2=16$，即 $a=4$，此时 $e=\dfrac{c}{a}=\dfrac24=\dfrac12$，与题设相符。于是

$$ b^2=a^2-c^2=16-4=12 $$

轨迹方程为

$$ \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1 $$

例 4（通径） 椭圆 $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{9}=1$ 的右焦点为 $F$，过 $F$ 作垂直于 $x$ 轴的直线交椭圆于 $A$、$B$，求 $|AB|$。

解：这条弦就是通径，直接代入通径公式

$$ |AB|=\frac{2b^2}{a}=\frac{2\times9}{4}=\frac92 $$

例 5（抛物线焦半径） 抛物线 $y^2=4x$ 上一点 $P$ 到焦点的距离为 $5$，求 $P$ 的横坐标。

解：$2p=4$，故 $p=2$，焦点 $F(1,0)$，准线 $x=-1$。由抛物线定义，$P$ 到焦点的距离等于它到准线的距离。设 $P(x_0,y_0)$，则

$$ x_0+\frac{p}{2}=x_0+1=5\ \Longrightarrow\ x_0=4 $$