直线和圆的方程 · 拓展与经典例题

人教A版（2019）选择性必修第一册第二章 · 河南高二。
这一页把直线方程的五种形式、距离公式、对称问题和直线与圆的位置关系收在一起，做题时先看点与斜率有没有特殊情况，再选合适的形式。

1 核心方法梳理

解析几何的直线与圆部分，套路集中在三件事上：写方程、算距离、判位置。能用几何性质（对称、圆心距）解的题，尽量别硬列方程，算得少还不容易错。

写直线方程先看斜率是否存在，斜率不存在时是竖直直线 $x=x_0$。
求两直线关系先算斜率，斜率相等且截距不同则平行，斜率之积为 $-1$ 则垂直。
直线与圆的位置关系用圆心到直线的距离 $d$ 和半径 $r$ 比较，比联立判别式快。

2 拓展知识

2.1 直线方程的五种形式

名称	方程	适用条件
点斜式	$y-y_0=k(x-x_0)$	斜率存在
斜截式	$y=kx+b$	斜率存在
两点式	$\dfrac{y-y_1}{y_2-y_1}=\dfrac{x-x_1}{x_2-x_1}$	两点横纵坐标都不相等
截距式	$\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1$	不过原点且不与坐标轴垂直
一般式	$Ax+By+C=0$	任意直线，$A$、$B$ 不同时为 $0$

五种形式里，前四种都要附加条件，一般式没有限制。斜率不存在的竖直直线只能用 $x=x_0$ 或一般式表示，做题时若设了 $y=kx+b$，最后必须单独讨论竖直直线是否也符合题意，漏掉这一支是常见失分点。

两条直线的位置关系用一般式判断更省事。设 $l_1:A_1x+B_1y+C_1=0$，$l_2:A_2x+B_2y+C_2=0$，则

$$ l_1\parallel l_2\iff A_1B_2-A_2B_1=0\ \text{且}\ A_1C_2-A_2C_1\ne0 $$

$$ l_1\perp l_2\iff A_1A_2+B_1B_2=0 $$

2.2 距离公式

点 $P(x_0,y_0)$ 到直线 $Ax+By+C=0$ 的距离

$$ d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} $$

两条平行线 $Ax+By+C_1=0$ 与 $Ax+By+C_2=0$（系数已化为一致）之间的距离

$$ d=\frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}} $$

两点 $P_1(x_1,y_1)$、$P_2(x_2,y_2)$ 间的距离公式

$$ |P_1P_2|=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} $$

用点到直线的距离求平行线之间的距离时，务必先把 $x$、$y$ 的系数化成相同，否则公式不能用。这个距离公式也是后面判断直线与圆位置关系的工具。

2.3 对称问题

对称问题分三类，抓住"中点落在对称轴上"和"连线与对称轴垂直"这两条，就能成套处理。

点关于点对称：$P(x_0,y_0)$ 关于 $M(a,b)$ 的对称点 $P'$ 满足 $M$ 是 $PP'$ 的中点，即

$$ P'(2a-x_0,\ 2b-y_0) $$

点关于直线对称：设 $P'(x',y')$，则 $PP'$ 的中点在对称直线上，且直线 $PP'$ 与对称直线垂直，列两个方程解出 $x'$、$y'$。特殊情形记住结论更快：$P(x_0,y_0)$ 关于 $x$ 轴的对称点是 $(x_0,-y_0)$，关于 $y$ 轴是 $(-x_0,y_0)$，关于直线 $y=x$ 是 $(y_0,x_0)$，关于直线 $y=-x$ 是 $(-y_0,-x_0)$。

直线关于直线对称：若两条直线相交，先求交点，再在一条直线上取一点求它的对称点，用两点写出对称直线；若两条直线平行，对称直线与它们平行，由距离相等确定截距。光线的反射问题本质就是对称：入射光线的路径可以换成反射光线的路径关于镜面反射后的直线来计算。

2.4 圆的方程

圆的标准方程以圆心和半径直接写出。圆心 $C(a,b)$、半径 $r$ 时

$$ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 $$

圆的一般方程

$$ x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 $$

配方后得圆心 $\left(-\dfrac{D}{2},-\dfrac{E}{2}\right)$，半径 $r=\dfrac12\sqrt{D^2+E^2-4F}$。它是圆的条件是

$$ D^2+E^2-4F>0 $$

若 $D^2+E^2-4F=0$，方程只表示一个点；若小于 $0$，不表示任何图形。用一般式解题时，注意 $x^2$ 与 $y^2$ 系数必须相等且化为 $1$，不能有 $xy$ 项。

求圆的方程常用待定系数法：已知圆心和半径用标准式，已知圆过三个点用一般式列方程组。

2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系

直线与圆的位置关系用圆心到直线的距离 $d$ 与半径 $r$ 比较：

$d>r$：相离，无公共点
$d=r$：相切，一个公共点
$d<r$：相交，两个公共点

联立直线与圆方程、用判别式判断也可以，但在算交点或弦长时，用几何法更直接。弦长用垂径定理求：

$$ |AB|=2\sqrt{r^2-d^2} $$

过圆外一点作圆的切线有两条，切线长为 $\sqrt{|PC|^2-r^2}$。从圆外一点 $P$ 向圆作两条切线，两切点的连线（切点弦）所在直线可由 $P$ 的坐标和圆的方程推得。

圆与圆的位置关系用圆心距 $d$ 与两半径 $r_1$、$r_2$ 比较：外离 $d>r_1+r_2$，外切 $d=r_1+r_2$，相交 $|r_1-r_2|<d<r_1+r_2$，内切 $d=|r_1-r_2|$，内含 $d<|r_1-r_2|$。两圆相交时，把两圆方程相减，$x^2$、$y^2$ 项消去，得到的就是公共弦所在的直线方程。

2.6 圆系方程

过两个已知圆 $C_1:x^2+y^2+D_1x+E_1y+F_1=0$ 与 $C_2:x^2+y^2+D_2x+E_2y+F_2=0$ 交点的圆，可以统一写成

$$ x^2+y^2+D_1x+E_1y+F_1+\lambda(x^2+y^2+D_2x+E_2y+F_2)=0 $$

$\lambda$ 取不同值就得到过这两个交点的不同圆。当 $\lambda=-1$ 时，二次项消去，剩下的正是两圆的公共弦所在直线，可以看作半径无穷大的"圆"。这类设法能省去求交点的步骤，在过定点或过交点的问题里很方便。

3 经典例题

例 1（平行线距离） 求直线 $l_1:3x+4y-2=0$ 与 $l_2:6x+8y+5=0$ 之间的距离。

解：先化系数一致，把 $l_1$ 乘 $2$ 得 $6x+8y-4=0$。与 $l_2:6x+8y+5=0$ 比较，$A=6$，$B=8$，$C_1=-4$，$C_2=5$，代入平行线距离公式

$$ d=\frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\frac{|-4-5|}{\sqrt{6^2+8^2}}=\frac{9}{10} $$

例 2（点关于直线对称） 求点 $P(0,0)$ 关于直线 $l:x-y+1=0$ 的对称点 $P'$ 的坐标。

解：设 $P'(x',y')$。线段 $PP'$ 的中点为 $\left(\dfrac{x'}{2},\dfrac{y'}{2}\right)$，它落在 $l$ 上，代入得

$$ \frac{x'}{2}-\frac{y'}{2}+1=0\ \Longrightarrow\ x'-y'+2=0 $$

又 $PP'$ 与 $l$ 垂直，$l$ 的斜率为 $1$，故 $PP'$ 的斜率为 $-1$，即

$$ \frac{y'}{x'}=-1\ \Longrightarrow\ x'+y'=0 $$

两式相加得 $2x'+2=0$，即 $x'=-1$，代入 $x'+y'=0$ 得 $y'=1$。所以对称点为 $P'(-1,1)$。

例 3（直线与圆的位置关系） 已知直线 $l:3x+4y-10=0$ 与圆 $C:(x-1)^2+(y-2)^2=4$，判断它们的位置关系，若相交求弦长。

解：圆心 $C(1,2)$，半径 $r=2$。圆心到直线的距离

$$ d=\frac{|3\times1+4\times2-10|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|3+8-10|}{5}=\frac15<2 $$

$d<r$，直线与圆相交。弦长

$$ |AB|=2\sqrt{r^2-d^2}=2\sqrt{4-\frac1{25}}=2\sqrt{\frac{99}{25}}=\frac{2\sqrt{99}}{5}=\frac{6\sqrt{11}}{5} $$

例 4（待定系数求圆的方程） 已知圆 $C$ 过点 $A(1,0)$、$B(3,0)$、$C(0,1)$，求圆 $C$ 的方程。

解：设圆的方程为 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$。把三个点分别代入。

由 $A(1,0)$ 得 $1+D+F=0$；由 $B(3,0)$ 得 $9+3D+F=0$；由 $C(0,1)$ 得 $1+E+F=0$。

由前两式相减得 $8+2D=0$，$D=-4$。代入 $1+D+F=0$ 得 $1-4+F=0$，$F=3$。再由 $1+E+3=0$ 得 $E=-4$。

所以圆的方程为

$$ x^2+y^2-4x-4y+3=0 $$

配方得 $(x-2)^2+(y-2)^2=5$，圆心 $(2,2)$，半径 $\sqrt5$。

例 5（两圆公共弦） 已知两圆 $C_1:x^2+y^2+2x-4y-4=0$ 与 $C_2:x^2+y^2-4x+2y-4=0$，求它们的公共弦所在直线的方程。

解：两圆方程相减，二次项消去，

$$ (2x-4y-4)-(-4x+2y-4)=0\ \Longrightarrow\ 6x-6y=0\ \Longrightarrow\ x-y=0 $$

公共弦所在直线为 $y=x$。

例 6（圆系方程） 求过两圆 $C_1:x^2+y^2-2x=0$ 与 $C_2:x^2+y^2-2y=0$ 的交点，且过点 $P(2,1)$ 的圆的方程。

解：设所求圆为

$$ x^2+y^2-2x+\lambda(x^2+y^2-2y)=0 $$

它自动过 $C_1$、$C_2$ 的所有交点，$\lambda$ 由过点 $P(2,1)$ 确定。把 $P(2,1)$ 代入

$$ (4+1-4)+\lambda(4+1-2)=0\ \Longrightarrow\ 1+3\lambda=0\ \Longrightarrow\ \lambda=-\frac13 $$

于是所求圆的方程为

$$ x^2+y^2-2x-\frac13(x^2+y^2-2y)=0 $$

两边同乘 $3$ 并整理

$$ 2x^2+2y^2-6x+2y=0\ \Longrightarrow\ x^2+y^2-3x+y=0 $$

验证交点 $(0,0)$ 与 $(1,1)$：代入 $x^2+y^2-3x+y$ 都得 $0$，符合要求。