必修二 第十章 概率
人教A版（2019）必修第二册 · 河南高二。
本章把随机现象量化，古典概型和事件的独立性是高频考点，常与统计合并成一道大题。
1 知识点总结
1.1 随机事件与概率
随机试验的一切可能结果组成样本空间 $\Omega$，其中每个结果叫样本点。样本空间的子集就是随机事件，只含一个样本点的是基本事件，$\Omega$ 本身是必然事件，空集 $\varnothing$ 是不可能事件。
事件之间有几种关系要分清：
- 包含：$A\subseteq B$，$A$ 发生必有 $B$ 发生。
- 并事件 $A\cup B$：$A$ 与 $B$ 至少一个发生。
- 交事件 $A\cap B$：$A$ 与 $B$ 同时发生。
- 互斥：$A\cap B=\varnothing$，两者不能同时发生。
- 对立：$A\cap B=\varnothing$ 且 $A\cup B=\Omega$。对立一定互斥，互斥不一定对立。
古典概型要求样本空间有限且每个样本点等可能。此时
$$ P(A)=\frac{A\text{ 包含的样本点数}}{\text{样本点总数}} $$
概率有三条基本性质：$P(\Omega)=1$，$P(\varnothing)=0$，任何事件满足 $0\le P(A)\le1$。若 $A$ 与 $B$ 互斥，则
$$ P(A\cup B)=P(A)+P(B) $$
对立事件满足 $P(\bar{A})=1-P(A)$，这条在「至少」型问题里最省力。若 $A$ 与 $B$ 互斥，则 $\bar{A\cup B}=\bar{A}\cap\bar{B}$，这正是把「至少一个」转化为「两个都不」的依据。
例 1 掷两枚质地均匀的骰子，求点数之和为 7 的概率。
解：样本空间共 $6\times6=36$ 个等可能的样本点。和为 7 的有 $(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$，共 6 个。
$$ P=\frac{6}{36}=\frac16 $$
例 2 从甲、乙、丙三人中随机选两人参加比赛，求甲被选中的概率。
解：样本空间为 $\{\text{甲乙},\text{甲丙},\text{乙丙}\}$，共 3 个等可能样本点。甲被选中的有甲乙、甲丙两个。
$$ P=\frac{2}{3} $$
1.2 事件的相互独立性
若 $A$ 发生与否不影响 $B$ 发生的概率，则称 $A$ 与 $B$ 相互独立，等价定义是
$$ P(A\cap B)=P(A)P(B) $$
独立时「同时发生」用乘法，多个事件相互独立时同样相乘。
例 3 甲命中目标的概率为 $0.8$，乙为 $0.7$，两人射击相互独立。求至少一人命中的概率。
解：用对立事件。只有两人都没命中时，「至少一人命中」才不发生，
$$ P(\bar{A}\cap\bar{B})=(1-0.8)\times(1-0.7)=0.2\times0.3=0.06 $$
所以至少一人命中的概率为 $1-0.06=0.94$。
1.3 频率与概率
做 $n$ 次重复试验，事件 $A$ 发生 $n_A$ 次，则频率为 $f_n(A)=\dfrac{n_A}{n}$。试验次数增大时，频率会在某个常数附近摆动，这个常数就是概率。当无法用古典概型求概率时，可用大量试验的频率作估计，随机模拟用的也是这个思路。
例 4 某种子发芽试验播下 1000 粒，其中 950 粒发芽。估计该种子发芽的概率。
解：频率为 $950/1000=0.95$，用它作为发芽概率的估计值。频率是试验值，会随试验变化；概率是客观常数。
随机模拟是这条思路的延伸。用计算机产生满足条件的随机数，做大量重复试验，用频率逼近所求概率。碰到不便直接计算、又难以真实重复的情形，它可以给出一个够用的近似值。
2 易错题总结
| 易错点 | 常见错法 | 正确做法 | 原因 |
|---|---|---|---|
| 互斥与独立 | 认为互斥事件一定独立 | 互斥看能否同时发生，独立看概率能否相乘 | 互斥且概率都大于 0 时，$P(A)P(B)>0$ 而 $P(A\cap B)=0$，反而不独立 |
| 对立与互斥 | 把互斥当成对立 | 对立要求既不能同时发生，又必有一个发生 | 互斥只排除同时发生，允许存在第三种结果 |
| 古典概型的前提 | 样本点不等可能时仍套 $\frac{k}{n}$ | 先确认样本空间有限且等可能 | 公式只对等可能样本空间成立 |
| 加法公式的条件 | 任意两事件都用 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ | 只有互斥时才能直接相加，否则要减去 $P(A\cap B)$ | 重叠部分会被重复计算 |
| 独立事件乘法 | 对不独立的事件也用乘法 | 先判断独立性，或回到古典概型数样本点 | 乘法公式以独立为前提 |
| 频率与概率 | 把某次试验的频率直接当成概率 | 频率是估计值，随试验波动 | 概率是稳定值，频率只是它的近似 |
2.1 易错典型题
题 抛一枚均匀硬币两次，甲认为「两次都是正面」与「一次正面一次反面」机会相同，理由是基本事件只有三种。判断甲的说法并求前者概率。
错法：认为三种结果等可能，得 $\dfrac13$。
正解：要按等可能的样本点数。样本点为 $(\text{正},\text{正}),(\text{正},\text{反}),(\text{反},\text{正}),(\text{反},\text{反})$，共 4 个。「两次都是正面」只对应 1 个，概率为 $\dfrac14$；「一次正面一次反面」对应 2 个，概率为 $\dfrac12$。
要点：古典概型数的必须是等可能的样本点。「三种结果」不等可能，不能直接套公式。