概率 · 拓展与经典例题
人教A版（2019）必修第二册 第十章 · 河南高二。
这一页收的是本章最常考的几条线和它们的组合用法，计数与公式配套看，做题时先判断"能不能枚举干净"，再决定用哪个公式。
1 核心方法梳理
概率题的第一步几乎都是把基本事件数清楚，第二步才是套公式。计数过关，后面的加法、乘法才用得上。
- 基本事件有限、每个基本事件等可能，才能用古典概型 $P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}$。
- 事件之间有"能不能同时发生"，决定用加法还是乘法。
- 与长度、面积有关的等可能问题，用几何概型，把概率写成面积或长度之比。
- 数据量大或不便枚举时，用频率估计概率。
2 拓展知识
2.1 计数的三条路：枚举、列表、树状图
古典概型里数基本事件有几种常用手段，选哪个取决于试验的层数。
枚举法适合样本空间小、结构简单的题，把结果一个个列出来即可。列表法适合两个因素（如先后掷两枚骰子），行与列分别放两个因素，交叉格子就是基本事件。树状图适合多层试验（如连续三次取球），每往下一层是一次试验，从根到叶的一条路径就是一个基本事件。
三种方法求出的总数必须一致，做题时说出来"由树状图共有 $n$ 个基本事件"，比只写数字更容易得分。注意区分"有放回"和"无放回"：有放回时每次的样本空间不变，无放回时后面几次的可选范围会缩小。
2.2 互斥与对立
两个事件 $A$、$B$ 不可能同时发生，称它们互斥，此时
$$ P(A\cup B)=P(A)+P(B) $$
这个加法公式对多个两两互斥的事件也成立。若不添加条件，一般的加法公式是
$$ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) $$
互斥与对立的区别常考：对立一定互斥，互斥不一定对立。$A$ 与 $B$ 对立要求它们互斥且必有一个发生，即 $A\cup B=\Omega$，并且
$$ P(\bar A)=1-P(A) $$
判断是否对立，看两件事"合起来是不是把全部结果占满了"。
用加法公式前先判断事件能不能同时发生。题目里出现"或""至少""要么"这类字眼，往往对应并事件，求它的概率时先看能不能拆成几个两两互斥的事件分别相加。若几个事件两两互斥且合起来是必然事件，它们的概率之和等于 $1$。
2.3 相互独立与乘法公式
若 $A$ 是否发生不影响 $B$ 发生的概率，则 $A$、$B$ 相互独立，此时
$$ P(A\cap B)=P(A)P(B) $$
注意独立与互斥是两回事：互斥说的是不能同时发生，独立说的是发生与否互不影响。两个概率都大于 $0$ 的事件不可能既互斥又独立。判断独立不能只凭感觉，要按定义验证 $P(A\cap B)=P(A)P(B)$；题目说明"互不影响""相互独立"时可直接使用。
$n$ 个事件相互独立时，联合概率等于各自概率之积。求"至少有一个发生"通常反过来算，用
$$ P(\text{至少一个})=1-P(\text{一个都不发生}) $$
2.4 独立重复试验
在相同条件下重复做 $n$ 次试验，每次试验中事件 $A$ 发生的概率都是 $p$，各次试验相互独立，这样的试验叫 $n$ 次独立重复试验（也叫伯努利试验）。
事件 $A$ 恰好发生 $k$ 次的概率是二项分布的雏形：
$$ P_n(k)=\mathrm{C}_n^k\,p^k(1-p)^{n-k},\qquad k=0,1,2,\dots,n $$
理解这条公式要分两步：先选哪 $k$ 次发生，有 $\mathrm{C}_n^k$ 种；每一次的具体概率都是 $p^k(1-p)^{n-k}$。两部分相乘即可。这里的 $\mathrm{C}_n^k$ 用组合数。
常见问法有"恰好 $k$ 次""至少一次""前 $k$ 次都发生"。"至少一次"仍用正难则反，$1-(1-p)^n$。
2.5 条件概率
在事件 $A$ 已经发生的条件下事件 $B$ 发生的概率，记作 $P(B|A)$：
$$ P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)},\qquad P(A)>0 $$
它把样本空间收缩到 $A$ 内部，再数 $B$ 在其中的占比。由它可反解出乘法公式
$$ P(A\cap B)=P(A)P(B|A) $$
当 $A$、$B$ 独立时，$P(B|A)=P(B)$，条件概率退化为普通概率。用条件概率要留意"在……条件下"这个前提会改变样本空间：同一个事件在不同已知条件下概率不同，读题时先明确条件是什么、它把样本空间缩到了哪一部分。这部分在本册点到为止，选修会系统展开。
2.6 用频率估计概率
大量重复试验中，事件 $A$ 发生的频率 $\dfrac{m}{n}$ 会稳定在某个常数附近，把这个常数作为 $P(A)$ 的估计，称为频率的稳定性。
用频率估计概率适合无法精确计数的场合，比如检验合格率、预测天气、估计某型号零件的次品率。做题时若题目只给了一张频数表，就直接用频率当概率来算后续问题。
2.7 几何概型
如果每个基本事件发生的可能性相等，而基本事件的总数有无穷多个，无法用古典概型，就考虑几何概型。此时把样本空间和一个可度量的几何区域对应起来，事件 $A$ 的概率等于
$$ P(A)=\frac{A\ \text{所对应区域的度量}}{\text{总区域的度量}} $$
这里度量的含义随题目而定：一维问题取长度，二维问题取面积，三维问题取体积。常见题型是"在长度为 $L$ 的线段上随机取一点""向一个平面区域随机投点""在某一时间段内随机到达"。判断能不能用几何概型，看事件是否落在某个连续区域内、以及区域内各点是否等可能。解这类题一般先画图，把两个区域画出来，再算度量之比。
3 经典例题
例 1（列表法计数） 先后抛掷两枚质地均匀的骰子，求向上的点数之和为 $7$ 的概率。
解：两枚骰子一共 $6\times6=36$ 个等可能基本事件。用列表法，行表示第一枚的点数，列表示第二枚的点数。点数之和为 $7$ 的有
$$ (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) $$
共 $6$ 个，故
$$ P=\frac{6}{36}=\frac16 $$
例 2（对立事件） 袋中有 $3$ 个红球、$2$ 个白球，从中任取 $2$ 个球，求至少有 $1$ 个红球的概率。
解：设事件 $A$ 为"至少有 $1$ 个红球"，它的对立事件 $\bar A$ 是"$2$ 个都是白球"，而从 $5$ 个球中取 $2$ 个共有 $\mathrm{C}_5^2=10$ 种取法，$\bar A$ 只有 $\mathrm{C}_2^2=1$ 种。于是
$$ P(\bar A)=\frac{1}{10},\qquad P(A)=1-P(\bar A)=1-\frac1{10}=\frac9{10} $$
例 3（相互独立） 甲、乙两人各射击一次，甲的命中率为 $0.8$，乙的命中率为 $0.7$，两人射击互不影响。求目标被击中的概率。
解：目标被击中即甲、乙至少有一人命中，反过来是两人都未命中。两人独立，
$$ P(\text{都未命中})=(1-0.8)\times(1-0.7)=0.2\times0.3=0.06 $$
所以目标被击中的概率为
$$ 1-0.06=0.94 $$
例 4（独立重复试验） 某射手每次射击命中目标的概率为 $0.8$，独立射击 $5$ 次，求恰好命中 $3$ 次的概率（结果保留三位小数）。
解：这是 $n=5$ 次独立重复试验，$p=0.8$，$k=3$。代入公式
$$ P_5(3)=\mathrm{C}_5^3\times0.8^3\times(1-0.8)^{5-3}=10\times0.512\times0.04=0.2048 $$
保留三位小数得 $0.205$。
例 5（频率估计概率） 某工厂抽查 $200$ 件产品，其中次品 $8$ 件。从该批产品中任取一件，估计它是次品的概率，并估计 $1000$ 件产品中次品的件数。
解：用频率估计概率，
$$ P\approx\frac{8}{200}=0.04 $$
$1000$ 件产品中次品的估计件数为 $1000\times0.04=40$ 件。
例 6（条件概率） 一个家庭有两个小孩，已知其中至少有一个是女孩，求两个都是女孩的概率（假定生男生女等可能）。
解：样本空间为 $\{$男男，男女，女男，女女$\}$，共 $4$ 个等可能基本事件。设 $A$ 为"至少有一个女孩"，则 $A$ 含 $3$ 个基本事件；设 $B$ 为"两个都是女孩"，$A\cap B$ 就是 $B$ 本身，含 $1$ 个基本事件。由条件概率
$$ P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{1/4}{3/4}=\frac13 $$