统计 · 拓展与经典例题

人教A版（2019）必修第二册 · 河南高二。
这一页把频率分布直方图、百分位数、分层抽样、方差性质和线性回归的算法各拆成可操作的步骤，配典型例题，统计题的分数基本靠这些步骤拿稳。

1 核心方法梳理

1. 读直方图先看纵轴标什么，纵轴是频率除以组距，不是频率。
2. 用直方图估数字特征，一切通过面积来算，矩形面积就是频率。
3. 求百分位数先算位置指标 $i=np\%$，再按整数与否分别处理。
4. 数据整体加减常数，平均数跟着变，方差不变；整体乘常数，方差乘平方。
5. 求回归方程先算样本中心 $(\bar x,\bar y)$，回归直线一定过这个点。

2 拓展知识

2.1 频率分布直方图的读法

把数据分组后，每组的频率等于该组频数除以样本容量。画直方图时纵轴标的量是

$$ \frac{\text{频率}}{\text{组距}} $$

于是每个小矩形的面积等于该组频率，所有矩形面积之和为 $1$。若把纵轴直接当成频率，矩形面积就不再等于频率，这是最常见的失分点。

由频率还能反推频数：频数等于频率乘样本容量。

2.2 用直方图估计三个数字特征

• 众数：取最高矩形底边中点的横坐标。
• 中位数：找使左右两侧矩形面积各为 $0.5$ 的横坐标。落在某个组内时按面积比例插值。
• 平均数：取每组的组中值乘对应频率再求和。

$$ \bar x\approx\sum_{i}\left(\text{组中值}_i\times\text{频率}_i\right) $$

组中值就是区间两端点的平均值。数据在组内近似均匀分布，取中点估计最合理。

2.3 百分位数

一组数据的第 $p$ 百分位数，是把数据从小到大排列后，使小于或等于它的数据占比至少 $p\%$ 的那个数。先算位置

$$ i=n\times p\% $$

若 $i$ 不是整数，取大于 $i$ 的最小整数对应的数据；若 $i$ 是整数，取第 $i$ 个和第 $i+1$ 个数据的平均数。位置是下标，不是数据值，别把 $i$ 直接当答案。

2.4 分层随机抽样

总体由差异明显的几部分组成时，先分层，再在各层内独立抽样。各层抽取的个数按比例分配：

$$ \frac{n_1}{N_1}=\frac{n_2}{N_2}=\cdots=\frac{n}{N} $$

其中 $N$ 是总体容量，$n$ 是样本容量，$N_i$ 是第 $i$ 层的个体数，$n_i$ 是在该层抽取的个体数。

估计总体平均数时按各层权重加权：

$$ \bar w=\frac{N_1}{N}\bar x_1+\frac{N_2}{N}\bar x_2+\cdots $$

权重是各层占总体容量的比例。

2.5 方差的性质与简化公式

设原数据的平均数为 $\bar x$，方差为 $s^2$，对数据作变换 $y_i=ax_i+b$：

$$ \bar y=a\bar x+b,\qquad s_y^2=a^2 s^2 $$

整体平移（$a=1$）只改变平均数，方差不变；整体伸缩时方差乘 $a^2$，标准差乘 $|a|$。

计算方差还有一个简化公式，能省去逐个求偏差：

$$ s^2=\frac1n\sum_{i=1}^{n}x_i^2-\bar x^2 $$

2.6 线性回归

给一组样本点 $(x_i,y_i)$，求经验回归方程 $\hat y=\hat bx+\hat a$：

$$ \hat b=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2},\qquad \hat a=\bar y-\hat b\bar x $$

分子分母同除以 $n$ 或同乘常数不改变结果。实际计算常用等价的变形

$$ \hat b=\frac{\sum x_iy_i-n\bar x\bar y}{\sum x_i^2-n\bar x^2} $$

回归直线必过样本中心 $(\bar x,\bar y)$，这个性质可以用来检验算出的 $\hat a$ 是否出错。

2.7 相关系数

相关系数 $r$ 衡量两个变量线性相关的强弱与方向：

$$ r=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar y)^2}} $$

它满足 $-1\le r\le 1$。$|r|$ 越接近 $1$，线性相关越强；越接近 $0$，线性相关越弱。$r>0$ 为正相关，$r<0$ 为负相关。$|r|=1$ 时所有点落在一条直线上。

3 经典例题

例 1（直方图估计数字特征） 某班 50 名学生成绩的频率分布如下表，组距为 $10$，求众数、中位数和平均数的估计值。

解：各组的频率等于频率除以组距再乘组距，即 $[10,20)$ 为 $0.1$，$[20,30)$ 为 $0.2$，$[30,40)$ 为 $0.3$，$[40,50)$ 为 $0.25$，$[50,60)$ 为 $0.15$，合计 $1$。

众数取最高矩形底边中点。最高组是 $[30,40)$，众数约为 $35$。

中位数：前两组累计频率 $0.1+0.2=0.3$，还差 $0.2$ 到 $0.5$，中位数落在 $[30,40)$ 内。该组频率为 $0.3$，组距为 $10$，故

$$ 30+\frac{0.2}{0.3}\times10\approx36.7 $$

平均数取组中值乘频率求和，组中值为 $15$、$25$、$35$、$45$、$55$：

$$ \bar x=15\times0.1+25\times0.2+35\times0.3+45\times0.25+55\times0.15=36.5 $$

例 2（百分位数） 一组数据从小到大为 $65,70,72,75,78,80,82,85,88,90,92,95$，求第 $25$ 和第 $80$ 百分位数。

解：$n=12$。

第 $25$ 百分位数：$i=12\times25\%=3$，是整数，取第 $3$ 个和第 $4$ 个数据的平均数：

$$ \frac{72+75}{2}=73.5 $$

第 $80$ 百分位数：$i=12\times80\%=9.6$，不是整数，取大于 $9.6$ 的最小整数 $10$ 对应的数据，即 $90$。

例 3（分层抽样） 某校高一、高二、高三分别有 $400$、$500$、$600$ 人，用分层随机抽样抽取容量为 $75$ 的样本，各年级应抽多少人？

解：抽样比为

$$ \frac{75}{400+500+600}=\frac{75}{1500}=\frac{1}{20} $$

各年级抽取人数为

$$ 400\times\frac1{20}=20,\qquad 500\times\frac1{20}=25,\qquad 600\times\frac1{20}=30 $$

即高一抽 $20$ 人，高二抽 $25$ 人，高三抽 $30$ 人，合计 $75$ 人。

例 4（方差的性质） 已知一组数据的平均数为 $5$，方差为 $4$。将每个数据乘以 $2$ 再减去 $3$，求新数据的平均数和方差。

解：设原数据为 $x_i$，变换后为 $y_i=2x_i-3$。由变换公式

$$ \bar y=2\bar x-3=2\times5-3=7 $$

方差为

$$ s_y^2=2^2\times s^2=4\times4=16 $$

例 5（线性回归） 已知五组数据 $(1,2)$、$(2,3)$、$(3,5)$、$(4,6)$、$(5,9)$，求 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程，并预测 $x=6$ 时 $y$ 的值。

解：先算样本中心。$\bar x=\dfrac{1+2+3+4+5}{5}=3$，$\bar y=\dfrac{2+3+5+6+9}{5}=5$。

列表算偏差乘积与偏差平方：

故

$$ \hat b=\frac{6+2+0+1+8}{4+1+0+1+4}=\frac{17}{10}=1.7 $$

$$ \hat a=\bar y-\hat b\bar x=5-1.7\times3=-0.1 $$

经验回归方程为

$$ \hat y=1.7x-0.1 $$

当 $x=6$ 时，$\hat y=1.7\times6-0.1=10.1$。