阶段 16 讲义

数学 11h：线代复习 · SVD 启蒙
编程 9h：环境管理与阶段总结

第一部分 · 数学

这是大一上最后一个数学阶段。做两件事：把线性代数串成一条线，然后认识 SVD。

SVD（奇异值分解）是现代数据科学的支柱：图像压缩、推荐系统、降维、去噪、伪逆……
全都建立在它上面。这一节只做"启蒙"，让你知道它是什么、为什么重要。

1 线性代数全景回顾

阶段 8–10、13、15 学的其实是同一个故事的不同章节。

1.1 一条主线：解 $Ax = b$

    行列式（阶段 8）          矩阵与逆（阶段 9）
    判断"有没有唯一解"   →    把"除法"做出来
            │                        │
            └────────────┬───────────┘
                         ▼
              向量组与秩（阶段 10）
        回答"到底有几个解"——秩决定一切
                         │
                         ▼
              特征值（阶段 13、15）
        "哪些方向不被扭转" + 对角化
                         │
                         ▼
                    SVD（阶段 16）
        "任何矩阵都能拆成 旋转×拉伸×旋转"

1.2 核心概念对照表

关键的关系串联：

$$\underbrace{\det A = \prod\lambda_i}_{\text{行列式}} \qquad \underbrace{\text{rank} = \text{非零特征值个数}}_{\text{秩}} \qquad \underbrace{A = Q\Lambda Q^T}_{\text{对称矩阵}} \qquad \underbrace{A = U\Sigma V^T}_{\text{任何矩阵}}$$

最后一个是前面所有的推广。

2 SVD 是什么

任何矩阵（不要求方阵、不要求对称、不要求可逆）都能拆成：

$$\boxed{A = U\Sigma V^T}$$

奇异值 $\sigma_1\ge\sigma_2\ge\cdots\ge0$，是 $\Sigma$ 的对角线元素。

⭐ SVD 说的是：任何一个线性变换，不管多复杂，
都等价于"先旋转 → 再沿坐标轴拉伸 → 再旋转"。

这就是它能成为"线性代数终极定理"的原因，它没有任何前提条件。

2.1 完整例子

$$A = \begin{pmatrix}3&1\\1&3\\0&0\end{pmatrix} \quad (3\times2)$$

numpy 实算：

$$U = \begin{pmatrix}-0.707&-0.707&0\\-0.707&0.707&0\\0&0&1\end{pmatrix}, \quad \Sigma = \begin{pmatrix}4&0\\0&2\\0&0\end{pmatrix}, \quad V^T = \begin{pmatrix}-0.707&-0.707\\-0.707&0.707\end{pmatrix}$$

奇异值：$\sigma_1 = 4,\ \sigma_2 = 2$

验证重构：

$$U\Sigma V^T = \begin{pmatrix}3&1\\1&3\\0&0\end{pmatrix} = A \quad ✓ \text{（实算确认）}$$

验证正交性：$U^TU = I_3$ ✓，$VV^T = I_2$ ✓（实算确认）

⚠️ 注意 $U$ 和 $V$ 的维度：$A$ 是 $3\times2$，
所以 $U$ 是 $3\times3$、$V$ 是 $2\times2$，它们不是同一个大小。
重构时要用 $U$ 的前 2 列（对应 2 个非零奇异值）。

3 SVD 和特征值的关系

这是最容易被绕晕的地方，但说起来很简单：

$$\boxed{A^T A \text{ 的特征值} = \text{奇异值的平方}}$$

具体地：

$$A^TA\,v_i = \sigma_i^2\,v_i \quad\Longrightarrow\quad v_i \text{ 是 } V \text{ 的列（右奇异向量）}$$

$$AA^T\,u_i = \sigma_i^2\,u_i \quad\Longrightarrow\quad u_i \text{ 是 } U \text{ 的列（左奇异向量）}$$

验证（实算）：

$$A^TA = \begin{pmatrix}10&6\\6&10\end{pmatrix}, \quad \text{特征值} = 4,\ 16$$

$$\sigma^2 = 2^2,\ 4^2 = 4,\ 16 \quad ✓ \text{完全一致}$$

💡 所以 SVD 并没有引入全新的数学。
它可以"用特征值算出来"：构造 $A^TA$（这是对称矩阵！），
求它的特征值和特征向量，开根号就得到奇异值。

但实际计算不会这么做，因为 $A^TA$ 的条件数是 $A$ 的平方，
数值上会损失一半精度。实际用的是专门的 SVD 算法（Golub-Kahan 等）。

3.1 对称矩阵的特殊情形

如果 $A$ 是对称矩阵，那 SVD 和特征分解就几乎一样了：

$$\sigma_i = |\lambda_i|$$

实算验证：

⚠️ 看第二行：特征值有负数，但奇异值永远是正的（取绝对值）。
这就是 SVD 比特征分解适用范围更广的原因。
特征值可以是复数、可以没有、可以不存在（不可对角化），
但奇异值永远存在、永远是实数、永远非负。

4 应用一：低秩近似（数据压缩的原理）

这是 SVD 最重要的应用。

核心事实（Eckart–Young 定理）：只用前 $k$ 个奇异值，就能得到"最好的"近似：

$$A \approx U_k\Sigma_kV_k^T$$

而且这是所有秩为 $k$ 的矩阵里，误差最小的那一个（在 Frobenius 范数下）。

实算给你看：我造了一个 $10\times5$ 的接近低秩的矩阵：

注意第一个奇异值远大于其他，说明这个矩阵几乎是秩 1 的。

看第一行：只用 16 个数就还原了原矩阵（50 个数），误差只有 2%。

⭐ 这就是图像压缩的原理：
一张图片是个矩阵，它的奇异值衰减很快，
只存前几十个奇异值和对应的向量，就能还原出肉眼看不出差别的图片。
JPEG、推荐系统、潜在语义分析，用的都是这件事。

💡 同时这也解释了 PCA：
对中心化的数据矩阵做 SVD，右奇异向量就是主成分方向，
奇异值的平方 ÷(n−1) 就是特征值（= 各主成分的方差）。
PCA 就是"对数据做 SVD 然后截断"。

5 应用二：伪逆（解决"不能求逆"的问题）

回忆阶段 9：只有方阵、且 $\det\ne0$ 才有逆矩阵。

但现实里的矩阵大多不是方阵（比如 $X$ 是 $n\times p$，被试数 $\ne$ 变量数）。

SVD 给出替代品：伪逆（Moore-Penrose 伪逆）。

$$A^+ = V\Sigma^+U^T$$

其中 $\Sigma^+$ 是"把非零奇异值取倒数，再转置"。

它解决的是最小二乘问题 $Ax\approx b$。

$$\hat{x} = A^+b$$

⭐ 这正是线性回归的解法：
$\hat\beta = (X^TX)^{-1}X^Ty$ 在 $X^TX$ 不可逆时会崩，
但用伪逆（np.linalg.pinv 底层就是 SVD）总能给出一个答案，
它给的是"最小范数最小二乘解"。

阶段 8/9/10 反复遇到的"共线性导致求逆失败"，SVD 是最终的工程解法。

6 常见的坑

7 线性代数到此为止

学完这 9 个阶段，你手里有这些能力。

⭐ 这些是大二所有量化课程的地基：
多元统计、数值分析、机器学习、心理测量、脑影像分析，
没有一个是能绕开线性代数的。

8 🧠 这跟认知科学有什么关系

这一节的对应关系是我验证过的（用代码实算），但心理学结论请对照文献。

表征相似性分析（RSA）和 MDS = SVD 在认知神经科学里最直接的两次出场。

8.1 RSA 是怎么做的

表征相似性分析（Representational Similarity Analysis） 是近十几年认知神经科学最流行的方法之一。

核心想法：

不要问"这个神经元对哪个刺激反应强"，而要问"哪些刺激在这个区域里更相似"。

步骤：

8.2 实算给你看

我造了 5 个刺激在 3 个"神经元"上的活动模式：

$$P = \begin{pmatrix}1.0&0.5&0.0\\0.9&0.6&0.1\\0.0&0.0&1.0\\0.1&0.1&0.9\\0.5&0.5&0.5\end{pmatrix}$$

算两两之间的欧氏距离，得到 RDM：

$$\text{RDM} = \begin{pmatrix}0&0.173&1.5&1.334&0.707\\0.173&0&1.407&1.237&0.574\\1.5&1.407&0&0.173&0.866\\1.334&1.237&0.173&0&0.693\\0.707&0.574&0.866&0.693&0\end{pmatrix}$$

看第一二行：刺激 1 和刺激 2 的距离是 $0.173$（很近），刺激 3 和 4 也是 $0.173$。
说明它们分别构成了两组。

8.3 MDS：把 RDM 变回坐标（这一步用特征分解）

经典 MDS 的做法：

1. 双中心化：$B = -\frac12 J(\text{RDM}^2)J$，其中 $J = I - \frac1n\mathbf{1}\mathbf{1}^T$
2. 对 $B$ 做特征分解：$B = V\Lambda V^T$
3. 取前 $k$ 个正特征值，坐标 = $V_k\sqrt{\Lambda_k}$

实算结果（$B$ 的特征值）：

$$-0,\ -0,\ 0,\ 0.039,\ \mathbf{1.893}$$

只有 2 个是正的，说明这 5 个刺激本质上活在 2 维里（虽然原始数据是 3 维）。

MDS 二维坐标：

1、2 在左边，3、4 在右边，和 RDM 的结构对应。
前两个特征值解释了 100% 的（正）变异（实算确认）。
用这 2 维坐标重构距离，最大误差为 $0.0$，完美还原（实算确认）。

⭐ 所以 MDS 和 PCA 和 SVD 是同一件事的三种说法：
- 对数据矩阵做 SVD → PCA
- 对距离矩阵做特征分解 → 经典 MDS
- $A$ 的右奇异向量 = $A^TA$ 的特征向量 = PCA 的主成分方向

8.4 为什么 RSA 在认知科学里这么重要

典型应用：

⚠️ 诚实说明：
- 上面的 RDM、双中心化特征值、MDS 坐标、重构误差都是我实算的（可复现），
"经典 MDS = 双中心化 + 特征分解""SVD 与 PCA 的关系"是数学事实。
- 但 RSA 的统计推断怎么做（怎么检验"两个 RDM 真的相关吗"）
是一个活跃的方法学领域，早期做法有不少批评，
近年有置换检验、噪声上限校正等更严格的方法。
- MDS 有经典 MDS 和非度量 MDS 等多种变体，本讲义只演示了经典 MDS。
- 请以 Kriegeskorte et al. (2008, Frontiers in Systems Neuroscience)
和 Representational Similarity Analysis 方向的后续文献为准。
我保证数学，不保证统计推断的做法。

9 数学作业 S16

• [ ] 1. 求 $A = \begin{pmatrix}2&0\\0&3\\0&0\end{pmatrix}$ 的 SVD（直接看就能答）
• [ ] 2. 对 $A = \begin{pmatrix}3&1\\1&3\\0&0\end{pmatrix}$，写出 $U$、$\Sigma$、$V^T$ 的形状，并说明为什么 $U$ 和 $V$ 大小不同
• [ ] 3. 验证 $A^TA$ 的特征值 = 奇异值的平方（用作业 2 的 $A$）
• [ ] 4.（重点）说明"任何矩阵都有 SVD"为什么比"只有方阵才能对角化"更强
• [ ] 5. 对称矩阵 $\begin{pmatrix}4&2\\2&-3\end{pmatrix}$ 的特征值和奇异值分别是什么？为什么不一样？
• [ ] 6. 为什么"奇异值永远 $\ge 0$"而"特征值可以是负的"？
• [ ] 7.（重点）用 Eckart–Young 定理说明：为什么"只保留前几个奇异值"是最优的低秩近似？
• [ ] 8. 说明 SVD 和 PCA 的关系（用"奇异值平方 = $A^TA$ 的特征值"这条）
• [ ] 9. 为什么线性回归里"$X^TX$ 不可逆"不是死路？伪逆做了什么？
• [ ] 10.（Python）用 numpy 做一个完整的 SVD demo：分解、验证重构、低秩近似、以及与特征值的关系

第 10 题参考代码：

import numpy as np

np.set_printoptions(precision=4, suppress=True)


def svd_demo(A, name=""):
    """完整演示 SVD 的各个性质。"""
    A = np.asarray(A, dtype=float)
    m, n = A.shape
    U, S, Vt = np.linalg.svd(A)

    print(f"=== {name or A.tolist()} ===")
    print(f"A 的形状: {m}×{n}")
    print(f"U 形状 {U.shape}, 奇异值 {len(S)} 个, V^T 形状 {Vt.shape}")
    print("奇异值:", S)

    # ① 重构（注意 U 要取前 k 列，k = 奇异值个数）
    k = len(S)
    recon = U[:, :k] @ np.diag(S) @ Vt
    print("重构正确?", np.allclose(A, recon))

    # ② 正交性
    print("U 正交?", np.allclose(U.T @ U, np.eye(m)))
    print("V 正交?", np.allclose(Vt @ Vt.T, np.eye(n)))

    # ③ 与特征值的关系：A^T A 的特征值 = 奇异值²
    evals = np.linalg.eigvalsh(A.T @ A)
    print("A^T A 特征值      :", np.sort(evals))
    print("奇异值的平方      :", np.sort(S ** 2))
    print("两者一致?", np.allclose(np.sort(evals), np.sort(S ** 2)))

    # ④ 低秩近似
    if min(m, n) > 1:
        print("低秩近似（相对误差）:")
        for kk in range(1, min(m, n) + 1):
            Ak = U[:, :kk] @ np.diag(S[:kk]) @ Vt[:kk]
            err = np.linalg.norm(A - Ak) / np.linalg.norm(A)
            print(f"   前 {kk} 个奇异值: {err:.6f}")
    print()


svd_demo([[3, 1], [1, 3], [0, 0]], "3×2 矩形矩阵")
svd_demo([[2, 1], [1, 2]], "对称矩阵")
svd_demo([[4, 2], [2, -3]], "有负特征值的对称矩阵")

print("=== 伪逆 vs 普通逆 ===")
X = np.array([[1., 2.], [2., 4.], [3., 6.]])   # 列线性相关（第2列=第1列×2）
print("X =\n", X)
print("X^T X 行列式 =", round(np.linalg.det(X.T @ X), 10), " ← 0，不可逆！")

try:
    np.linalg.inv(X.T @ X)
    print("求逆成功？")
except np.linalg.LinAlgError as e:
    print("np.linalg.inv 失败:", e)

pinv = np.linalg.pinv(X)
print("伪逆形状:", pinv.shape)
print("伪逆能算出来 ✓（这就是共线性时的兜底方案）")

第二部分 · 编程

10 为什么需要环境管理

先看一个真实的灾难：

# 三个月前的你
pip install numpy pandas matplotlib

# 现在的你（跑同一个脚本）
ImportError: cannot import name 'foo' from 'numpy'
# 或者更糟：能跑，但结果和之前不一样

问题出在哪：

环境管理解决的就是这件事：给每个项目一套独立的、版本明确的包。

11 三层的"环境"概念

先分清楚三个东西：

你现在的情况（本项目用的）：

~/miniconda3/bin/python     ← 解释器
~/miniconda3/envs/...       ← conda 环境（base 是默认的）
numpy 2.5.3, pandas 3.0.5, matplotlib 3.11.1, scipy 1.18.1, sympy 1.14.0

检查你自己环境的命令：

~/miniconda3/bin/python -c "import sys; print(sys.executable)"
~/miniconda3/bin/python -c "import numpy; print(numpy.__version__)"
~/miniconda3/bin/python -m pip list

12 venv：Python 自带的虚拟环境

venv 是标准库自带的（不用装任何东西），最轻量。

# ① 在项目目录创建虚拟环境（会生成 .venv/ 目录）
python -m venv .venv

# ② 激活它
source .venv/bin/activate          # macOS / Linux
# .venv\Scripts\activate           # Windows（PowerShell）

# ③ 激活后，python 和 pip 都指向这个环境了
which python                       # → .../.venv/bin/python
pip install numpy pandas

# ④ 用完退出
deactivate

我实跑验证过：

$ .venv/bin/python -c "import sys; print(sys.executable)"
/private/tmp/envtest/.venv/bin/python      ← 指向虚拟环境 ✓

$ ~/miniconda3/bin/python -c "import sys; print(sys.executable)"
/Users/mamingyu/miniconda3/bin/python      ← 系统环境，不受影响 ✓

⭐ 核心理解：虚拟环境就是"一套独立的包安装目录"。
激活的本质是改 PATH，让 python 指向那一套。

12.1 venv vs conda

你现在用 conda（因为已经装了 miniconda），两个都行。建议：

• 课程作业、小项目 → venv 就够
• 要装 PyTorch / 需要 CUDA 的科学计算 → conda 更省事

12.2 conda 常用命令（你用得上）

conda create -n myenv python=3.11     # 建环境
conda activate myenv                  # 激活
conda deactivate                      # 退出
conda env list                        # 列出所有环境
conda install numpy pandas            # 装包
conda env export > environment.yml    # 导出环境（复现用）
conda env create -f environment.yml   # 从文件重建环境

13 requirements.txt：让别人能复现你的环境

这是项目的"依赖清单"。

# 导出当前环境的所有包
pip freeze > requirements.txt

# 别人（或者三个月后的你）一键装齐
pip install -r requirements.txt

更好的写法：只写直接依赖，不要 pip freeze 的全量列表

numpy>=2.0
pandas>=2.2
matplotlib>=3.8
scipy>=1.11

两种写法的对比：

💡 实践建议：
开发时用手写清单（好读），要严格复现时用全量 pip freeze。
或者用 pip-tools / poetry / uv 这类工具管理，不过大一上你还不需要。

给阶段 14 的项目加上依赖清单：

cd ~/Desktop/大一/编程/项目-反应时分析

建一个 requirements.txt：

# 这个项目只用了标准库，所以没有第三方依赖。
# 但显式写出来，是为了说明"依赖清单"这件事本身。
#
# 如果以后用到了 numpy：
# numpy>=2.0

⭐ 注意阶段 14 的项目其实只用标准库，
这本身就是个好设计：依赖越少，越容易在别人电脑上跑起来。
"零依赖"是最强的可复现性。

14 换电脑 / 换电脑后的完整复现流程

这是技能卡 16 的主题，这里先给流程。

场景：你从宿舍的电脑换到图书馆的电脑（或者买了新电脑），想把项目跑起来。

⭐ 第 6 步的顺序很重要：
先跑测试，能立刻知道"是环境问题还是数据问题"。
测试过了说明环境没问题，那主程序出问题就是数据或参数的问题。

15 大一上阶段总结

16 个阶段走完了。盘点一下你拿到了什么。

15.1 数学

15.2 编程

15.3 张技能卡（这可能是最实用的收获）

15.4 你现在的实际能力

能独立完成的：

• ✅ 写一个多文件、有测试、能被别人跑起来的 Python 项目
• ✅ 处理真实实验数据（读文件 → 清洗 → 统计 → 出报告）
• ✅ 用 Git 管理代码、推上 GitHub
• ✅ 用 sympy/numpy 验证数学结论
• ✅ 遇到报错能自己定位（读报错 → 二分法 → 调试器）

这正是《学习路线》里"阶段 16 末"定的目标的一部分：

GPA 稳住 + 1 个 GitHub 项目 + Python 语法全通 + 高数上/线代基础扎实

16 接下来做什么

《学习路线》的规划是：

但有几件事比"进入下一阶段"更紧急：

⭐ 进度可以慢，但不能跳过作业。
你已经走完了大一上最难的 16 个阶段，这本身就不容易。
接下来是把它变成"真的会"，不能停在"看起来完成了"。

17 🔧 技能卡 16：换电脑怎么复现环境

技能卡 15 教你修 bug；这张卡教你"在另一台电脑上，从零把这个项目跑起来"。这是可复现性的最后一环，也是你以后发给导师或合作者的第一件事。

17.1 为什么会"在我电脑上能跑"

你的电脑上有一堆你没意识到的东西：

"在我电脑上能跑"是软件工程里最经典的借口，也是最该被消除的。

17.2 五个复现要素（缺一不可）

⭐ 判断标准：把仓库发给一个陌生人，他能不能跑出和你一样的结果？
能，就叫"可复现"。

17.3 完整流程（存下来，以后照着做）

在"发送方"（你的电脑）：

cd 项目目录
git status                      # ① 确认要提交的都提交了
cat .gitignore                  # ② 确认该忽略的忽略了
# ③ 记录 Python 版本
python --version > .python-version
# ④ 生成依赖清单
pip freeze > requirements.txt
# ⑤ 推送
git add . && git commit -m "整理依赖清单和环境说明"
git push

在"接收方"（另一台电脑）：

git clone <仓库地址>
cd 项目目录

python -m venv .venv            # ① 建独立环境
source .venv/bin/activate       # ② 激活
pip install -r requirements.txt # ③ 装依赖

python 自检.py                   # ④ 先跑测试！
python main.py                  # ⑤ 再跑主程序

17.4 README 必须写清楚的四件事

① 环境要求，写清 Python 版本和依赖

## 环境要求
- Python 3.11+
- 依赖见 requirements.txt

② 怎么跑，命令逐步列出

python -m venv .venv
source .venv/bin/activate
pip install -r requirements.txt
python 自检.py     # 先跑测试确认环境
python main.py     # 跑主流程

③ 数据从哪来，文件在哪、什么格式

## 数据从哪来
data/raw.csv，格式见下方说明。

④ 已知问题。这一节最容易被省略，但值得写

## 已知问题
- 剔除阈值是我自己定的，不同阈值结果会变
- 还没处理缺失值

⚠️ "已知问题"这一节防止别人（和三个月后的你）误以为"结果就是这样"。

17.5 三条新手铁律

① .venv/ 永远不要提交

写进 .gitignore（阶段 13 讲过）。
它是几百 MB 的本地文件，换电脑后完全没用，别人自己重建就行。

② 依赖清单要么精确，要么宽松，但不要说谎

numpy（不写版本）意味着"任何版本都行"，但可能不是真的。
如果代码对版本敏感，必须写 numpy>=2.0,<3。

③ 先跑测试，再跑主程序

自检.py 过了 → 环境没问题 → 主程序出问题一定是数据/参数问题。
这一步能省你大量排查时间。

💡 遇到"别人跑不了你的代码"：
让他把完整报错发给你，然后问三个问题：
1. python -V 是什么？
2. pip list 里有没有你用的包？
3. 是不是从项目根目录运行的？

这三个问题能解决 90% 的"跑不了"。

18 🧠 这跟认知科学有什么关系（编程侧）

概念性内容，无法用代码验证，请对照文献。

环境管理 ↔ 认知科学里的"语境依赖性"和"编码特异性"。记忆不是独立于环境的。

18.1 编程侧的事实

"在我电脑上能跑"是一个真实的现象：同一份代码，在不同环境下行为不同。

关键洞察：代码的"行为"不是代码自带的属性。它属于"代码 + 环境"这个整体。

18.2 认知科学里的对应物

编码特异性原则（encoding specificity principle）（Tulving & Thomson, 1973）：

提取的效果取决于"提取时的线索"和"编码时的情境"匹配程度。

和"环境管理"的对照：

⭐ 这个对照有实际的用处：
"复习要在和考试相似的情境下"，这不是迷信，
是编码特异性原则的直接推论。
如果你考试在教室、复习在宿舍，你可能损失一部分成绩，纯粹因为情境不匹配。
（但要注意：情境依存效应通常不大，不要指望靠这个逆天改命。）

18.3 一个更深的对照：认知的"语境依赖性"

认知科学里"语境"无处不在：

"同一刺激，不同语境，不同反应"，
这和"同一代码，不同环境，不同行为"是同一个结构。

⚠️ 诚实说明：
- 编码特异性原则和情境依存记忆是认知心理学的重要发现，
有大量实验支持（Godden & Baddeley 1975 的水下实验是经典），
但效应的强度在不同条件下差异很大，有时很小。
- "情境依存"和"编码特异性"是相关但不同的概念，
本节的概括是简化版。
- 程序环境与认知语境的对照是教学类比，
不是说"大脑是虚拟机"或"记忆是数据库"。请以文献为准。

19 编程作业 S16

• [ ] 1. 用 python -m venv 建一个虚拟环境，激活，确认 which python 变了
• [ ] 2. 在虚拟环境里装一个包，退出后确认系统环境里没有这个包
• [ ] 3. 给阶段 14 的项目写 requirements.txt 和 .python-version
• [ ] 4. 完善项目 README.md：补上"环境要求"和"已知问题"两节
• [ ] 5.（重点）把项目推上 GitHub，然后换个目录 clone 下来，按 README 完整跑一遍
• [ ] 6. 验证 .venv/ 没有被提交（git status 里不该出现）
• [ ] 7. 故意改坏 .venv（删掉某个包），看 自检.py 报什么错，说明测试如何帮你定位环境问题
• [ ] 8. 解释 venv 和 conda 的区别，什么情况下该用哪个
• [ ] 9.（技能）假设朋友 clone 了你的项目，跑 python main.py 报 ModuleNotFoundError: No module named 'pandas'，写出你的三条排查回复
• [ ] 10.（技能）给项目写一份"新人上手"检查清单（照技能卡 16 的流程）
• [ ] 11.（Python）写一个脚本 检查环境.py：输出 Python 版本、关键包版本、当前工作目录，用于排查环境问题

第 11 题参考写法：

#!/usr/bin/env python
# -*- coding: utf-8 -*-
"""环境体检：把"我这台机器上是什么情况"一次性打印出来。

遇到"在我电脑上能跑"的问题时，先让对方跑这个脚本。
"""

import platform
import sys
from pathlib import Path

# 关心的包（按需增删）
PACKAGES = ["numpy", "pandas", "matplotlib", "scipy", "sympy"]


def main():
    print("=" * 46)
    print("环境体检报告")
    print("=" * 46)

    print(f"Python 版本   : {sys.version.split()[0]}")
    print(f"解释器路径    : {sys.executable}")
    print(f"操作系统      : {platform.system()} {platform.release()}")
    print(f"当前工作目录  : {Path.cwd()}")
    print(f"脚本所在目录  : {Path(__file__).resolve().parent}")

    print()
    print("第三方包：")
    import importlib.metadata as md
    for name in PACKAGES:
        try:
            print(f"  {name:<12} {md.version(name)}")
        except md.PackageNotFoundError:
            print(f"  {name:<12} ⚠️ 未安装")

    print()
    print("提示：如果某个包装了但版本不对，")
    print("      对照 requirements.txt 重新 pip install -r requirements.txt")


if __name__ == "__main__":
    main()

输出大概是这样：

==============================================
环境体检报告
==============================================
Python 版本   : 3.14.0
解释器路径    : /Users/mamingyu/miniconda3/bin/python
操作系统      : Darwin 25.6.0
当前工作目录  : /Users/mamingyu/Desktop/大一
脚本所在目录  : /Users/mamingyu/Desktop/大一

第三方包：
  numpy        2.5.3
  pandas       3.0.5
  matplotlib   3.11.1
  scipy        1.18.1
  sympy        1.14.0

提示：如果某个包装了但版本不对，
      对照 requirements.txt 重新 pip install -r requirements.txt

💡 把 检查环境.py 放进项目里，它能一次性回答"是环境问题还是代码问题"。
遇到"跑不了"的问题，先让对方跑它，比来回问十句都快。

第 9 题答案：

回复三条：
1. 你 `python -V` 是什么版本？
   （Python 版本不匹配会导致各种诡异问题）

2. 你 `pip list | grep pandas` 有没有输出？
   没有 → pip install -r requirements.txt
   有但版本不对 → 同上，用清单里的版本

3. 你是从项目根目录运行的吗？
   （相对路径依赖工作目录；从别的目录跑会 FileNotFoundError）

如果这三条都没问题，让 TA 跑 检查环境.py，把输出发过来。

本阶段自评

这是最后一份自评，问题多一些，它同时是一次总复习。

1. 数学：SVD 的完整形式是什么？$U$、$\Sigma$、$V^T$ 各自的形状和性质？
2. 数学：SVD 的几何意义（三个动作）是什么？
3. 数学：奇异值和 $A^TA$ 的特征值是什么关系？
4. 数学：为什么"任何矩阵都有 SVD"比"可对角化"适用范围广？举一个没有实特征值但有奇异值的矩阵
5. 数学：对称矩阵的奇异值和特征值差在哪？为什么？
6. 数学：Eckart–Young 定理说了什么？为什么它保证低秩近似是最优的？
7. 数学：伪逆解决什么问题？它和线性回归的关系是什么？
8. 数学：把"行列式、秩、特征值、奇异值"四个概念串成一句话
9. 编程：虚拟环境解决的核心问题是什么？激活的本质是什么？
10. 编程：venv 和 conda 各适合什么场景？
11. 编程：pip freeze 全量清单和手写清单各自的优缺点？
12. 编程：.venv/ 为什么绝对不能提交？
13. 技能：复现一个项目的七个步骤是什么？为什么第 6 步是"先跑测试"？
14. 技能：判断"可复现"的标准是什么（一句话）？
15. 技能：朋友说"跑不了"，你问哪三个问题？
16. 连接：编码特异性原则是什么？它对你的复习方式有什么实际启示？
17. 总复习：16 张技能卡里，你觉得最有用的是哪三张？为什么？
18. 总复习：16 个阶段里，哪个概念你到现在还有点虚？（诚实回答，然后回去补）

全部答得上 → 大一上主线完成。

但这不等于结束：
- 把 16 份作业补完（这是最重要的事）
- 把阶段 14 的项目推上 GitHub
- 把 2 份速查表用起来（编程代码 + 数学公式）
- 然后按《学习路线》进入大一下

进度可以慢，但不能跳过作业。