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数学公式速查表

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输入关键词开始查 —— 多个词用空格隔开（都要命中）。

1 极限

我想求什么 公式 符号含义 何时用 出处 常错 sympy 验证
函数在某点的极限 $\lim\limits_{x\to a}f(x)$ $a$ 是趋近的点 求趋势、判断连续 阶段01–02 直接代入不一定是答案（可能是 $0/0$） limit(sin(x)/x, x, 0) → 1
数列极限（ε-N 定义） $\forall\varepsilon>0,\ \exists N,\ n>N \Rightarrow \lvert a_n-A\rvert<\varepsilon$ ε 任意小，N 是"从第几项开始" 证明极限，不是计算 阶段01 忘写"$\forall\varepsilon$"就失去了"任意小" limit(1/n, n, oo) → 0
函数极限（ε-δ 定义） $\forall\varepsilon>0,\ \exists\delta>0,\ 0<\lvert x-x_0\rvert<\delta \Rightarrow \lvert f(x)-A\rvert<\varepsilon$ δ 是 x 的邻域半径 证明极限存在 阶段02 把 $0<\lvert x-x_0\rvert$ 丢了，这点本身可以没有定义 —
$0/0$ 型极限 用等价无穷小或洛必达 — 直接代入得 $0/0$ 阶段05 不是 $0/0$ 或 $\infty/\infty$ 就不能用洛必达 limit((exp(x)-1)/x, x, 0) → 1
$\infty/\infty$ 型极限 洛必达或比较最高次 — 直接代入得 $\infty/\infty$ 阶段05 洛必达可能循环不收敛，要试别的 limit(x**2/exp(x), x, oo) → 0
左右极限 $\lim_{x\to a^-}f$，$\lim_{x\to a^+}f$ 左=从小的方向，右=从大的方向 分段函数、判断极限存在 阶段02 左右极限不等 ⇒ 极限不存在 limit(1/x, x, 0, '-') → -oo

核心恒等式（$x\to0$ 时的等价无穷小）：

$$\sin x \sim x, \quad \tan x \sim x, \quad 1-\cos x \sim \frac{x^2}{2}, \quad e^x-1 \sim x, \quad \ln(1+x)\sim x$$

⚠️ "等价无穷小"只能在乘除里替换，加减里不能随便换。
要把 $o(x)$ 的阶数算清楚再换。

2 导数与微分

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瞬时变化率（定义） $f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$ Δx 是自变量的增量 从定义求导、证明可导性 阶段03 忘记这是"极限"，以为可以随便取 Δx=0 diff(x**2, x) → 2*x
幂函数 $(x^n)' = nx^{n-1}$ n 任意实数 最基本的一条 阶段04 $n=0$ 时是 0，别忘了 diff(x**5, x) → 5*x**4
乘积法则 $(uv)' = u'v + uv'$ — 两个函数相乘 阶段04 不是 $u'v'$（这是最经典的错） diff(x*sin(x), x) → x*cos(x)+sin(x)
商法则 $\left(\dfrac uv\right)' = \dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ v ≠ 0 两个函数相除 阶段04 分子是 $u'v - uv'$，顺序反了就错 diff(sin(x)/x, x)
链式法则 ⭐ $[f(g(x))]' = f'(g(x))\cdot g'(x)$ 外层导数 × 内层导数 任何复合函数 阶段04 漏掉内层导数 $g'(x)$ diff(sin(x**2), x) → 2*x*cos(x**2)
三角函数 $(\sin x)'=\cos x$，$(\cos x)'=-\sin x$ — — 阶段04 $\cos$ 求导有负号 diff(cos(x), x) → -sin(x)
指数 / 对数 $(e^x)'=e^x$，$(\ln x)'=\dfrac1x$ x > 0 — 阶段04 $\ln\lvert x\rvert$ 求导也是 $1/x$ diff(log(x), x) → 1/x
反三角 $(\arctan x)'=\dfrac{1}{1+x^2}$，$(\arcsin x)'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ — 积分时会反过来遇到 阶段04 和 $\arcsin$ 的分母别搞混 diff(atan(x), x) → 1/(x**2+1)
判断单调性 $f'(x)>0$ ⇒ 递增；$f'(x)<0$ ⇒ 递减 — 画函数图像、求极值 阶段06 $f'=0$ 的点不一定是极值点（如 $x^3$ 在 0） solve(diff(x**3-3*x, x), x)
二阶导数判凹凸 $f''>0$ ⇒ 开口向上（凹）；$f''<0$ ⇒ 开口向下（凸） — 判断弯曲方向 阶段07 ⚠️ 中英文"凹凸"约定相反，先确认教材 diff(x**2, x, 2) → 2
求极值（两步） ① 解 $f'(x)=0$ 找驻点 ② 看 $f''$ 符号 — 最优化 阶段06 $f''=0$ 时判不出来，要另想办法 diff(x**3-3*x, x, 2).subs(x, 1) → 6
求切线方程 $y - f(a) = f'(a)(x-a)$ a 是切点横坐标 求切线/法线 阶段03 忘了先算 $f(a)$ diff(x**2,x).subs(x,1) → 2

3 中值定理与洛必达

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罗尔定理 $f(a)=f(b)$ ⇒ $\exists\xi,\ f'(\xi)=0$ ξ 在 (a,b) 内 证明"存在某点导数为 0" 阶段05 三个前提（连续、可导、端点相等）缺一不可 —
拉格朗日中值定理 $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(\xi)$ ξ 在 (a,b) 内 把"平均变化率"和"瞬时变化率"挂钩 阶段05 — —
洛必达法则 $\lim\dfrac{f}{g} = \lim\dfrac{f'}{g'}$ 仅限 $0/0$ 或 $\infty/\infty$ 求不定式极限 阶段05 ⚠️ 不是不定式就用了 ⇒ 答案全错 limit(sin(x)/x, x, 0)
洛必达失效的情形 $f'/g'$ 的极限不存在时，原极限可能存在 — 试一次不收敛时 阶段05 别死磕，换等价无穷小或泰勒 limit((x+sin(x))/x, x, oo) → 1

4 不定积分

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原函数 / 不定积分 $\int f(x)dx = F(x)+C$，其中 $F'=f$ C 是任意常数 求"求导的逆运算" 阶段11 ⚠️ 忘记 +C integrate(2*x, x) → x**2
幂函数积分 $\int x^n dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ $n \ne -1$ 最常用 阶段11 $n=-1$ 时不能用（除以 0） integrate(x**5, x) → x**6/6
$1/x$ 的积分 $\int \dfrac1x dx = \ln\lvert x\rvert+C$ 就是 $n=-1$ 的情形 — 阶段11 绝对值别丢 integrate(1/x, x) → log(x)
指数 / 三角 $\int e^x dx = e^x+C$
$\int \sin x\,dx = -\cos x+C$		 — — 阶段11 ⚠️ $\sin$ 积分有负号 integrate(sin(x), x) → -cos(x)
反三角导数的逆 $\int \dfrac{1}{1+x^2}dx = \arctan x+C$ — 分母是 $1+x^2$ 时 阶段11 与 $\arcsin$ 那个别搞混 integrate(1/(1+x**2), x) → atan(x)
凑微分（第一类换元） $\int f(g(x))g'(x)dx = \int f(u)du$ 令 $u=g(x)$ 被积函数里有"某函数的导数" 阶段11 换元后忘了回代 $x$ integrate(2*x*cos(x**2), x) → sin(x**2)
分部积分 ⭐ $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ u 优先选"求导后变简单的" 两种不同类型函数的乘积 阶段11 符号是"减"，顺序也容易记反 integrate(x*exp(x), x) → (x-1)*exp(x)
分部积分怎么选 $u$ LIATE：对数 > 反三角 > 代数 > 三角 > 指数 （中文口诀：反对幂指三） 选谁当 $u$ 阶段11 选错会越算越复杂 integrate(log(x), x) → x*log(x)-x
"补 1"技巧 $\int\ln x\,dx = \int \ln x\cdot 1\,dx$ 取 $dv=dx$，$v=x$ $\ln x$、$\arctan x$ 单独出现时 阶段11 想不到"补个 1" integrate(log(x), x)
分部两次"绕回来" $I = \cdots - I$ ⇒ $2I=\cdots$ 把原积分当未知数解 $\int e^x\sin x\,dx$ 这种 阶段11 忘了"绕回来"要除 2 integrate(exp(x)*sin(x), x)
三角换元（第二类） $\sqrt{a^2-x^2} \Rightarrow x=a\sin t$ — 去掉根号 阶段11 换完要换积分限 integrate(sqrt(1-x**2), x)

5 定积分与应用

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定积分（黎曼和定义） $\int_a^b f = \lim\limits_{n\to\infty}\sum f(x_i)\Delta x$ Δx = (b−a)/n 理解定义、数值近似 阶段12 把它和不定积分混为一谈 —
牛顿-莱布尼茨 ⭐ $\int_a^b f(x)dx = F(b)-F(a)$ F 是任意一个原函数 算定積分全靠它 阶段12 ⚠️ 代端点时符号算错（如 $[-\cos x]_0^\pi$） integrate(x**2, (x,0,1)) → 1/3
区间可加 / 交换限 $\int_a^b f = -\int_b^a f$，$\int_a^b=\int_a^c+\int_c^b$ — 分段求积分 阶段12 交换限要变号 —
奇函数在对称区间 $\int_{-a}^{a} f = 0$（f 为奇函数） — 不用算就知道是 0 阶段12 没认出奇偶性，白算半天 integrate(x**3, (x,-1,1)) → 0
偶函数在对称区间 $\int_{-a}^{a} f = 2\int_0^a f$ — — 阶段12 — integrate(x**2, (x,-1,1)) → 2/3
微积分基本定理 $\dfrac{d}{dx}\int_a^x f(t)dt = f(x)$ 原函数写不出来也成立 求变限积分的导数 阶段12 忘了下限是常数时是 0 diff(integrate(exp(-t**2),(t,0,x)), x) → exp(-x**2)
两曲线间面积 $S=\int_a^b(\text{上}-\text{下})dx$ — 求图形面积 阶段12 判错"谁在上面"⇒ 得负数 integrate(x-x**2, (x,0,1)) → 1/6
函数的平均值 $\bar f = \dfrac{1}{b-a}\int_a^b f\,dx$ — 平均速度等 阶段12 忘记除以区间长度 integrate(x**2, (x,0,3))/3 → 3
旋转体体积 $V = \pi\int_a^b [f(x)]^2 dx$ 绕 x 轴旋转 求体积 阶段12 漏掉 π 或忘记平方 pi*integrate(x**4, (x,0,1)) → pi/5
反常积分收敛判定 $\int_1^\infty\dfrac{1}{x^p}dx$：$p>1$ 收敛，$p\le1$ 发散 p 是指数 无穷区间的积分 阶段12 ⚠️ $\int_1^\infty 1/x$ 是发散的 integrate(1/x, (x,1,oo)) → oo
数值积分（算不出来时） $\int_a^b f \approx$ 数值方法 — 无初等原函数 阶段12 — float(integrate(exp(-x**2),(x,0,1)))

6 行列式

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二阶行列式 $\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$ — 解二元方程组 阶段08 副对角线忘记减 Matrix([[2,1],[1,3]]).det() → 5
三阶（萨吕斯法则） 主方向 3 项相加 − 副方向 3 项相加 — 只对二三阶适用 阶段08 ⚠️ 四阶以上不能用！ 也容易漏一条对角线 Matrix([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,10]]).det() → -3
行列式 = 0 的条件 ① 两行相同 ② 一行是另一行的倍数 ③ 某行全 0 — 不算就知道是 0 阶段08 没认出来硬算半天 Matrix([[1,2],[2,4]]).det() → 0
行列式性质（换行变号） 交换两行 ⇒ $\det$ 变号 — 化简计算 阶段08 — —
行列式性质（行加行倍数） $R_i + kR_j$ ⇒ $\det$ 不变 — 化成上三角（计算机的做法） 阶段08 与"某行乘 k"混淆（那个会乘 k） —
三角行列式 上/下三角 ⟹ $\det$ = 对角线乘积 — 化成三角后一步出结果 阶段08 — Matrix([[1,2,3],[0,4,5],[0,0,6]]).det() → 24
乘积的行列式 $\det(AB)=\det(A)\det(B)$ — 简化计算 阶段08 — (Matrix([[1,2],[3,4]])*Matrix([[0,1],[1,0]])).det()
转置不变 $\det(A^T)=\det(A)$ — — 阶段08 — —
克拉默法则 $x_i = D_i / D$，$D_i$ 是把第 i 列换成常数列 必须 $D\ne0$ 解 n 元 n 方程（理论用） 阶段08 ⚠️ 实际计算不用它（$O(n\cdot n!)$ 太慢） Matrix([[1,1,1],[2,-1,1],[1,2,-1]]).det() → 7

7 矩阵运算

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矩阵乘法 $(AB)_{ij}=\sum_k a_{ik}b_{kj}$（左行 × 右列） 维度必须是 $(m\times n)(n\times p)$ 组合变换 阶段09 ⚠️ 左边列数必须等于右边行数 Matrix([[1,2],[3,4]])*Matrix([[0,1],[1,0]])
乘法不交换 $AB \ne BA$（一般情形） — 任何时候 阶段09 ⚠️ 最经典的错：以为可以交换 Matrix([[1,2],[3,4]])*Matrix([[0,1],[1,0]]) == Matrix([[0,1],[1,0]])*Matrix([[1,2],[3,4]]) → False
消去律失效 $AB=AC \not\Rightarrow B=C$ — 矩阵方程 阶段09 也是"以为像数一样能约" —
零因子 $AB=O$ 但 $A\ne O,B\ne O$ — — 阶段09 数里"乘积为0必有一个0"，矩阵里不成立 —
转置 $(A^T)_{ij}=a_{ji}$ 行列互换 — 阶段09 — Matrix([[1,2,3],[4,5,6]]).T
转置与乘积 $(AB)^T = B^TA^T$ — — 阶段09 ⚠️⚠️ 顺序要反过来 (A*B).T == B.T*A.T → True
单位矩阵 $AI = IA = A$ 对角线全 1 矩阵里的"1" 阶段09 — Matrix([[1,2],[3,4]])*eye(2)
迹 $\text{tr}(A)=\sum_i a_{ii}$（主对角线之和） — 等于特征值之和 阶段13 — Matrix([[2,1],[1,2]]).trace() → 4
秩 $\text{rank}(A)$ = 独立行/列数 $\le\min(m,n)$ 判断解的个数 阶段10 秩不可能超过行列数的较小者 Matrix([[1,2,3],[2,4,6],[1,1,1]]).rank() → 2
行最简形（rref） 用行变换化成每列主元为 1、其余为 0 — 求解方程组 / 求秩的标准做法 阶段10 — Matrix([[1,2],[3,4]]).rref()

8 逆矩阵

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逆矩阵的定义 $AA^{-1} = A^{-1}A = I$ 必须方阵且 $\det\ne0$ "矩阵里的除法" 阶段09 非方阵无逆；$\det=0$ 无逆 —
2×2 逆矩阵公式 ⭐ $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$ — 手算 2 阶 阶段09 ⚠️ 忘记除以行列式 Matrix([[1,2],[3,4]]).inv() → [[-2,1],[3/2,-1/2]]
口诀 主对角互换，副对角变号，除以行列式 — 背下来 阶段09 副对角忘了变号 —
伴随矩阵法（3 阶） $A^{-1} = \dfrac{1}{\det A}\operatorname{adj}(A)$ adj = 余子式矩阵的转置 手算 3 阶（很累） 阶段09 忘了转置那一步 Matrix([[1,2,3],[0,1,4],[5,6,0]]).adjugate()
逆的乘积 $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ — — 阶段09 ⚠️⚠️ 顺序要反过来（和转置同一个规律） (A*B).inv() == B.inv()*A.inv() → True
逆的转置 $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$ — 可以交换顺序 阶段09 — (A.T).inv() == A.inv().T → True
逆的行列式 $\det(A^{-1}) = 1/\det(A)$ — — 阶段09 — Matrix([[1,2],[3,4]]).inv().det() → -1/2
用逆解方程组 $AX=b \Rightarrow X=A^{-1}b$ — 同一个 A 解多个 b 时 阶段09 解一次用 solve 更快 Matrix([[2,1],[1,-3]]).inv()*Matrix([5,-1])

⚠️ 实际计算用 np.linalg.solve(A, b)，不要先求逆再乘。
更快、数值上更稳。

9 线性方程组

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解的判定表 ⭐ $r_A < r_b$ ⇒ 无解
$r_A = r_b = n$ ⇒ 唯一解
$r_A = r_b < n$ ⇒ 无穷多解		 $r_A=\text{rank}(A)$，$r_b=\text{rank}([A\mid b])$，$n$=未知数个数 不解方程直接判断 阶段10 ⚠️ 只算 $\text{rank}(A)$ 不够，必须算增广矩阵的秩 见下
齐次方程组有非零解 $\text{rank}(A) < n$ — 判断"有没有非零解" 阶段10 齐次永远有零解；问题是有没有非零解 Matrix([[1,2,3],[2,4,6],[1,1,1]]).rank() < 3 → True
齐次方程组的通解 $X = k_1\xi_1 + k_2\xi_2 + \cdots$ 基础解系 $\xi_i$ 写出全部解 阶段10 自由变量个数 = $n-\text{rank}$ Matrix([[1,2,3],[2,4,6],[1,1,1]]).nullspace()
非齐次方程组的通解 $X = \eta^* + k_1\xi_1+\cdots$ η 是一个特解* 写出全部解 阶段10 忘了加齐次部分 linsolve((A, b), (x,y,z))
线性相关 / 无关 存在不全为 0 的 $k_i$ 使 $\sum k_i\alpha_i=0$ ⇒ 相关 — 判断"有没有冗余向量" 阶段10 — Matrix.hstack(v1,v2,v3).rank() == 3 → 无关
$n$ 维里超过 $n$ 个向量 一定线性相关 — 快速判断题 阶段10 忘了这条白算 —

判定表的终端验证：

# 无解的例子（rank(A)=1，rank([A|b])=2）
~/miniconda3/bin/python -c "
from sympy import Matrix
A=Matrix([[1,2],[2,4]]); b=Matrix([1,3])
print('rank(A)=',A.rank(),' rank([A|b])=',A.row_join(b).rank(),' -> 不等 => 无解')"

# 无穷多解的例子（两个秩相等且 < 未知数个数）
~/miniconda3/bin/python -c "
from sympy import Matrix
A=Matrix([[1,2,3],[2,4,6]]); b=Matrix([1,2])
print('rank(A)=',A.rank(),' rank([A|b])=',A.row_join(b).rank(),' 未知数=3 -> 无穷多解')"

10 特征值与对角化

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特征值与特征向量 $Av=\lambda v$，$v\ne0$ λ 特征值，v 特征向量 找"方向不变"的方向 阶段13 特征向量不能是零向量 Matrix([[2,1],[1,2]]).eigenvects()
特征方程 ⭐ $\det(A-\lambda I)=0$ 必须减 λI 求特征值 阶段13 ⚠️ 写成 $\det(A-\lambda)$ 完全错 Matrix([[2,1],[1,2]]).charpoly(lam)
特征值之和 $\sum_i\lambda_i = \text{tr}(A)$ 迹 = 主对角线和 一秒验算 阶段13 算错了用这条立刻发现 sum(Matrix([[2,1],[1,2]]).eigenvals()) → 4
特征值之积 $\prod_i\lambda_i = \det(A)$ — 验算 阶段13 — Matrix([[2,1],[1,2]]).det() → 3
三角矩阵的特征值 就是对角线元素 — 最快的一类 阶段13 — Matrix([[1,2,3],[0,4,5],[0,0,6]]).eigenvals()
对称矩阵的特征值 一定是实数，特征向量互相正交 — 协方差矩阵等 阶段13 — Matrix([[2,1],[1,2]]).eigenvals() → {1:1, 3:1}
对角化 $A = P\Lambda P^{-1}$，或 $\Lambda = P^{-1}AP$ P 的列 = 特征向量，Λ = 对角特征值 让矩阵变简单 阶段15 ⚠️ P 的列顺序必须和 Λ 的对角线顺序对应 Matrix([[2,1],[1,2]]).diagonalize()
可对角化的条件 A 有 $n$ 个线性无关的特征向量 — 判断能不能对角化 阶段15 有重根也可能可对角化 Matrix([[2,1],[0,2]]).is_diagonalizable() → False
矩阵的幂（对角化法） $A^k = P\Lambda^k P^{-1}$ Λ^k 只是对角线各自乘方 算高次幂 阶段15 直接连乘很慢 (Matrix([[1,1],[1,0]])**10) → Fibonacci
实对称的正交对角化 $A = Q\Lambda Q^T$，$Q^{-1}=Q^T$ Q 是正交矩阵 PCA、协方差矩阵 阶段15 只有对称矩阵才能这样（一般矩阵 $P^{-1}\ne P^T$） Matrix([[2,1],[1,2]]).diagonalize(normalize=True)
对角化的几何含义 换到"特征向量这组基"下看，变换就变成各方向独立拉伸 — 直观理解 阶段15 — —
长期行为 $\|\lambda_{\max}\|>1$ 发散；$=1$ 稳定；$<1$ 衰减 — 动态系统分析 阶段15 — —

11 SVD

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奇异值分解 ⭐ $A = U\Sigma V^T$ U（$m\times m$）正交、Σ（$m\times n$）对角非负、$V^T$（$n\times n$）正交 任何矩阵都有 阶段16 ⚠️ U 和 V 大小不同，重构时要截断 U,S,Vt = np.linalg.svd(A)
几何含义 旋转 → 沿坐标轴拉伸 → 旋转 — 直观理解 阶段16 — —
奇异值与特征值的关系 $A^TA$ 的特征值 $= \sigma_i^2$ σ 是奇异值 理解 SVD 的来源 阶段16 实际计算不用这么算（精度差） np.linalg.eigvalsh(A.T@A)
对称矩阵 $\sigma_i = \|\lambda_i\|$ — 对称矩阵的特例 阶段16 ⚠️ 特征值可为负，奇异值永远非负 np.linalg.svd(C)[1]
低秩近似（Eckart–Young） $A\approx U_k\Sigma_kV_k^T$（只留前 k 个奇异值） — 图像压缩、降维、去噪 阶段16 截掉的是"最不重要"的方向 见下
伪逆 $A^+ = V\Sigma^+U^T$ Σ⁺ = 非零奇异值取倒数再转置 $A$ 不可逆时兜底（回归） 阶段16 — np.linalg.pinv(A)
是 PCA 的另一面 对中心化数据做 SVD ⇒ 右奇异向量 = 主成分方向 奇异值² ÷(n−1) = 各主成分方差 降维 阶段16 — —

低秩近似的实测（阶段 16 讲义里的例子）：

~/miniconda3/bin/python -c "
import numpy as np
np.random.seed(0)
X = np.outer(np.arange(1,11), np.arange(1,6)) + np.random.normal(0,0.5,(10,5))
U,S,Vt = np.linalg.svd(X)
for k in [1,2,3]:
    Xk = U[:,:k] @ np.diag(S[:k]) @ Vt[:k]
    print(f'前{k}个: 相对误差 {np.linalg.norm(X-Xk)/np.linalg.norm(X):.4f}')"
# 前1个: 相对误差 0.0222   ← 只用 16 个数还原了 50 个数，误差 2%
# 前2个: 相对误差 0.0166
# 前3个: 相对误差 0.0103

12 常用常数与等价无穷小

名称 值 / 公式 sympy 写法
圆周率 π $3.14159265\ldots$ sp.pi
自然常数 e $2.71828182\ldots$ sp.E
无穷大 — sp.oo
黄金比例 φ $\dfrac{1+\sqrt5}{2}=1.61803398\ldots$ (1+sp.sqrt(5))/2
虚数单位 i $\sqrt{-1}$ sp.I

等价无穷小（$x\to0$）：

原式 等价于 sympy 验证
$\sin x$ $x$ limit(sin(x)/x, x, 0) → 1
$\tan x$ $x$ limit(tan(x)/x, x, 0) → 1
$1-\cos x$ $\dfrac{x^2}{2}$ limit((1-cos(x))/x**2, x, 0) → 1/2
$e^x-1$ $x$ limit((exp(x)-1)/x, x, 0) → 1
$\ln(1+x)$ $x$ limit(log(1+x)/x, x, 0) → 1
$(1+x)^\alpha-1$ $\alpha x$ limit(((1+x)**0.5-1)/x, x, 0) → 0.5

13 条高频错误（考前必看）

这是从阶段 01–16 里统计出来的，按出现频率排。

# 错误 正确
1 $\int\sin x\,dx = \cos x$ 是 $-\cos x+C$
2 不定积分忘记 $+C$ 每次都写
3 $(AB)^{-1} = A^{-1}B^{-1}$ 是 $B^{-1}A^{-1}$，顺序反
4 $(AB)^T = A^TB^T$ 是 $B^TA^T$，顺序反
5 换元后忘记换积分限 换了 $u$ 就换上下限
6 $[-\cos x]_0^\pi$ 算成 0 $-\cos\pi=+1$，答案是 2
7 $\det(A-\lambda I)$ 里忘写 $I$ 只减主对角线
8 只写特征值不写特征向量 两者要配对
9 克拉默法则忘记 $D\ne0$ 前提 先算 $D$
10 只算 $\text{rank}(A)$ 不算 $\text{rank}([A\mid b])$ 两个都要算
11 洛必达用在非不定式上 先确认是 $0/0$ 或 $\infty/\infty$
12 用 == 比较浮点数 用 math.isclose

⭐ 第 3、4 条最隐蔽，它们在"看起来对"的时候错。
记忆法：逆和转置都会"颠倒顺序"，像"穿脱袜子鞋子"。

14 怎么用这张表

步 做什么
1 做题卡住时来搜（Cmd+F 搜"我想求什么"那一列）
2 看「公式」和「何时用」
3 不确定的时候，把「sympy 验证」那行复制到终端跑
4 看「常错」那一列，那是别人踩过的坑，也是你即将踩的

跑 sympy 的命令模板：

~/miniconda3/bin/python -c "
import sympy as sp
x, y, z = sp.symbols('x y z')
print(sp.diff(x**2, x))
print(sp.integrate(x**2, x))
print(sp.limit(sp.sin(x)/x, x, 0))
"

💡 把常用的几行存成快捷命令，比如写进 .zshrc：

alias math='~/miniconda3/bin/python -c'

之后就能 math "import sympy as s;x=s.symbols('x');print(s.diff(x**2,x))"。

15 相关

最后更新：2026-09-26