阶段 05 讲义

数学 11h：高数 · 中值定理与洛必达
编程 9h：函数（二）· 可变默认参数的坑

第一部分 · 数学

1 罗尔定理：从直觉开始

先想一个画面：你早上从山脚出发，中午到山顶，傍晚又走回山脚。

问：这一天里，有没有某一刻，你恰好是水平移动的（既不向上也不向下）？

答案是"有"，你总得从"上山"切换成"下山"，在这中间必然有一瞬间是平的。

这就是罗尔定理。

罗尔定理：若 $f$ 满足
1. 在 $[a,b]$ 上连续
2. 在 $(a,b)$ 内可导
3. $f(a) = f(b)$（两端点一样高）

则至少存在一点 $\xi \in (a,b)$，使 $f'(\xi) = 0$。

几何意义：两端等高，中间必有一处切线水平。

三个条件缺一不可，每一条都在防一种反例：

去掉哪条	反例	结果
不连续	$f(x)=x$（$x\in[0,1)$），$f(1)=0$	没有水平切线
不可导	$f(x)=\lvert x\rvert$ 在 $[-1,1]$	尖点在 0，但 $f'(0)$ 不存在
$f(a)\ne f(b)$	$f(x)=x$ 在 $[0,1]$	导数恒为 1，永不为 0

1.1 完整例子

验证 $f(x)=x^2-4x+3$ 在 $[1,3]$ 上满足罗尔定理，并求 $\xi$。

第一步：检查条件

多项式，连续和可导都满足 ✓
$f(1)=1-4+3=0$，$f(3)=9-12+3=0$ → $f(1)=f(3)$ ✓

第二步：求导、解方程

$$f'(x)=2x-4=0 \implies x=2$$

第三步：检查 $\xi$ 是否在开区间内

$\xi=2 \in (1,3)$ ✓

答：$\xi=2$，此时 $f(2)=-1$，切线水平。

2 拉格朗日中值定理 ⭐：罗尔的"斜过来"版

罗尔定理要求两端一样高。如果不一样高呢？

那就把整个图斜过来看，割线的斜率代替了"水平"。

拉格朗日中值定理：若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续、在 $(a,b)$ 内可导，
则至少存在一点 $\xi \in (a,b)$，使

$$f'(\xi) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

或写成更好用的形式：

$$f(b) - f(a) = f'(\xi)(b-a)$$

几何意义：曲线上至少有一点的切线，平行于端点连线。

$$f'(x_0) = \text{割线斜率}$$

凭什么成立：把罗尔定理"减掉割线"就得到了。
构造 $F(x) = f(x) - \left[f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\right]$，
这是"$f$ 减去那条割线"。则 $F(a)=F(b)=0$，对 $F$ 用罗尔定理即可。
所以拉格朗日是罗尔的推论，这也是为什么两个定理长得像。

2.1 完整例子

验证 $f(x)=x^3$ 在 $[0,2]$ 上满足拉格朗日中值定理，并求 $\xi$。

第一步：算割线斜率

$$\frac{f(2)-f(0)}{2-0} = \frac{8-0}{2} = 4$$

第二步：求导，令它等于割线斜率

$$f'(x)=3x^2 = 4 \implies x^2 = \frac43 \implies x = \frac{2}{\sqrt3} \approx 1.1547$$

第三步：检查范围

$\xi=\frac{2}{\sqrt3} \approx 1.1547 \in (0,2)$ ✓

2.2 一个重要推论：「常函数」

若在区间内恒有 $f'(x)=0$，则 $f$ 是常函数。

为什么：任取两点 $x_1<x_2$，由拉格朗日：

$$f(x_2)-f(x_1) = f'(\xi)(x_2-x_1) = 0 \cdot (x_2-x_1) = 0$$

所以 $f(x_2)=f(x_1)$，即处处相等。

💡 这个推论看着无聊，却是解微分方程的基石。
后面证明"$f'=f$ 的解一定是 $Ce^x$"就靠它。

2.3 常用不等式：$\ln$ 的增量

对 $f(x)=\ln x$ 在 $[1,x]$ 上用拉格朗日（$x>1$）：

$$\ln x - \ln 1 = \frac{1}{\xi}(x-1), \quad \xi \in (1,x)$$

因为 $\xi>1$，所以 $\frac1\xi<1$，于是：

$$\ln x < x - 1 \quad (x>1)$$

数值验证：$x=e$ 时，$\ln e = 1 < e-1 \approx 1.718$ ✓
这类"用中值定理推不等式"是考试高频，也是分析里最基本的技巧。

3 洛必达法则 ⭐⭐

前面求 $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}$，我们靠"等价无穷小"和记忆。洛必达法则给了它一个通用套路。

3.1 适用形式

只管两种未定式：

$$\frac{0}{0} \qquad \text{和} \qquad \frac{\infty}{\infty}$$

这两种形式下：

$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$

人话：分子分母各自求导，再取极限。（不是商的求导法则！）

⚠️ 最常见的错误：把洛必达当成"商法则"。
洛必达是 $\frac{f'}{g'}$，分子求导、分母求导，各自求，
不是 $\left(\frac{f}{g}\right)'$。别写成 $\frac{f'g-fg'}{g^2}$。

3.2 使用条件（三条，缺一不可）

必须是 $\frac00$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型（先验证！）
$f,g$ 在去心邻域内可导，且 $g'(x)\ne 0$
$\lim\frac{f'}{g'}$ 存在（或为 $\infty$）

⚠️ 第 3 条最容易忽略。见下面"洛必达失效"。

3.3 例子 1：$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}$

验证类型：$\frac{\sin 0}{0}=\frac00$ ✓

$$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x} = \lim_{x\to0}\frac{\cos x}{1} = \cos 0 = 1$$

注意这里 $\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x$，$\frac{d}{dx}(x)=1$。
顺带一提：这个极限本身就是 $\sin$ 的导数公式的来源，
所以某种意义上是"循环论证"。严谨的处理要用夹逼定理（阶段 2 做过）。
但作为计算技巧，这样用完全没问题。

3.4 例子 2：$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}$

类型 $\frac00$ ✓

$$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x} = \lim_{x\to0}\frac{e^x}{1} = 1$$

和阶段 2 背的等价无穷小 $e^x-1\sim x$ 一致，那个结论就是这么来的。

3.5 例子 3：需要连续用两次

$$\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2} \qquad \left(\frac00\right)$$

第一次：

$$= \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{2x} \qquad \left(\text{还是}\frac00\right)$$

第二次：

$$= \lim_{x\to0}\frac{\cos x}{2} = \frac12$$

验证：结果 $\frac12$，和阶段 2 背的 $1-\cos x\sim\frac{x^2}{2}$ 一致 ✓

3.6 例子 4：$\frac{\infty}{\infty}$ 型

$$\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x} \qquad \left(\frac{\infty}{\infty}\right)$$

$$= \lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{1} = \lim_{x\to\infty}\frac1x = 0$$

💡 对数增长比线性增长慢得多。
算法里 $\log n$ 比 $n$ 好，就是这个意思。

3.7 例子 5：其它形式（$0\cdot\infty$、$\infty-\infty$、$0^0$）

洛必达只管 $\frac00$ 和 $\frac\infty\infty$。遇到别的形式，先转化成这两种。

$0\cdot\infty$ 型：$\lim_{x\to0^+} x\ln x$

改写：$x\ln x = \dfrac{\ln x}{1/x}$（变成 $\frac{\infty}{\infty}$）

$$= \lim_{x\to0^+}\frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x\to0^+}(-x) = 0$$

口诀：

原形式	怎么转
$0\cdot\infty$	把其中一个写成倒数，挪到分母
$\infty-\infty$	通分，或提取公因式
$0^0$、$1^\infty$、$\infty^0$	取对数，变成 $0\cdot\infty$

3.8 ⚠️ 洛必达会失效：两个必须知道的例子

洛必达不是万能的。条件 3 不满足时，它会骗你。

3.8.1 失效例 A：求不出，但极限确实存在

$$\lim_{x\to\infty}\frac{x+\sin x}{x}$$

先看类型：$\frac{\infty}{\infty}$ ✓，形式上可以用。

用洛必达：

$$= \lim_{x\to\infty}\frac{1+\cos x}{1} = \lim_{x\to\infty}(1+\cos x)$$

这个极限不存在（$1+\cos x$ 在 0 和 2 之间来回振荡）。

但原式的极限是存在的！直接约分就看得出来：

$$\frac{x+\sin x}{x} = 1 + \frac{\sin x}{x} \xrightarrow{x\to\infty} 1 + 0 = 1$$

数值验证：

$x$	原式	洛必达后
$10^2$	0.994936	1.862319
$10^3$	1.000827	1.562379
$10^4$	0.999969	0.047845
$10^5$	1.000000	0.000639

原式稳稳趋于 1，洛必达后却在乱跳。

⚠️ 结论：洛必达后极限不存在，推不出原极限不存在。
洛必达只是"如果导数的比有极限，那么原式也有，且相等"，
这是单向的。反过来不成立。

3.8.2 失效例 B：越用越绕回去

$$\lim_{x\to\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \qquad \left(\frac\infty\infty\right)$$

用一次洛必达：

$$= \lim_{x\to\infty}\frac{1}{\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}} = \lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}$$

这正好是原式的倒数，再用一次洛必达就回到了起点。死循环。

正确做法：上下同除 $x$。

$$\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} = \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}} \to \frac{1}{\sqrt{1+0}} = 1$$

💡 经验：洛必达之前先看看能不能约分/化简。
化简能解决的，就别上洛必达。

4 常见的坑

坑	说明
没验证类型就用	先确认是 $\frac00$ 或 $\frac\infty\infty$，否则结论无效
当成商法则	是 $\frac{f'}{g'}$，不是 $\frac{f'g-fg'}{g^2}$
导数比无极限就下结论	原极限可能仍存在（失效例 A）
死用不停手	绕圈了或变复杂了，就停手换方法（失效例 B）
忽略"$\xi$ 在开区间内"	罗尔/拉格朗日的 $\xi\in(a,b)$，端点不算

5 🧠 这跟认知科学有什么关系

概念性内容，无法用代码验证，请对照文献。

中值定理 ↔ 心理物理函数的"平均斜率"和"瞬时斜率"。

做心理物理实验时，你会测一条心理测量函数：横轴是刺激强度，纵轴是"报告感觉到的概率"。用两个点连线的斜率（平均变化率）描述"这个区间里感受性提高了多少"。
中值定理告诉你：这个平均斜率，一定在某一点被瞬时斜率精确取到。

为什么这有用：如果你报告"平均斜率"，审稿人会问"这是哪个强度上的斜率？"，
中值定理保证了存在这样一个点，所以"平均斜率"是有明确意义的量，不是硬凑的。

洛必达的"未定式"↔ 心理量的 0/0 问题。

当刺激强度趋近于 0，而反应概率也趋近于 0 时，"每单位刺激带来的反应变化"就成了 $0/0$。
阈限的估计本质上就是在处理这类未定式，这也是为什么阈限估计要用整套心理物理方法（阶梯法、恒定刺激法），而不是简单相除。

⚠️ 诚实说明：这些是帮你建立直觉的类比，不是严格的数学对应。
中值定理是定理，心理物理函数是经验测量。请以文献为准。

6 数学作业 S5

[ ] 1. 验证 $f(x)=x^2-2x$ 在 $[0,2]$ 上满足罗尔定理，并求出 $\xi$
[ ] 2. 用拉格朗日中值定理证明：对任意 $x>0$，有 $\ln(1+x)<x$
[ ] 3. 验证 $f(x)=\sqrt{x}$ 在 $[1,4]$ 上满足拉格朗日中值定理，求 $\xi$
[ ] 4. 用洛必达求 $\lim_{x\to0}\dfrac{\tan x}{x}$
[ ] 5. 用洛必达求 $\lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1-x}{x^2}$（注意要连用两次）
[ ] 6. 用洛必达求 $\lim_{x\to\infty}\dfrac{x^2}{e^x}$
[ ] 7. 求 $\lim_{x\to0^+}x\ln x$（$0\cdot\infty$ 型，先转化）
[ ] 8.（重点）判断下面哪一步错了，并说出错在哪：

求 $\lim_{x\to\infty}\dfrac{x-\sin x}{x}$ 时，直接上洛必达得到
$\lim_{x\to\infty}\dfrac{1-\cos x}{1}$，因为该极限不存在，所以原极限不存在。

提示：先用约分算原极限，再解释洛必达为什么在这里不好使。
[ ] 9.（Python）用数值验证作业 8：对若干个越来越大的 $x$，分别打印原式和洛必达后的值，观察两者行为

第 9 题参考代码：

import numpy as np

for x in [10, 100, 1000, 10000, 100000]:
    orig = (x - np.sin(x)) / x      # 原式
    lhop = 1 - np.cos(x)            # 洛必达之后的式子
    print(f"x={x:<8} 原式={orig:.10f}   洛必达后={lhop:.10f}")

你会看到：原式稳定趋近 1，而洛必达后的值一直在跳（因为 $\cos$ 在振荡）。
这就直观地说明了"洛必达后没有极限"不等于"原式没有极限"。

第二部分 · 编程

7 默认参数

默认参数让函数"有些参数可以不传"。

def greet(name, greeting="你好", punct="！"):
    return f"{greeting}，{name}{punct}"

print(greet("张三"))                # 你好，张三！
print(greet("张三", "Hi"))          # Hi，张三！
print(greet("张三", punct="。"))    # 你好，张三。

规则：

谁	说明
不带默认值的	必须出现在前面
带默认值的	放在后面

def bad(a=1, b):     # ❌ SyntaxError
    return a + b

报错：SyntaxError: parameter without a default follows parameter with a default

💡 为什么：调用时按位置从左往右填。
如果 a 有默认值而 b 没有，f(5) 到底是给 a 还是给 b？没法判断。所以禁止。

8 默认值是在「定义时」算好的

这是理解本阶段那个大坑的关键。默认值在函数定义的那一刻算一次，之后一直复用，不是每次调用时重新算。

import time

def log(msg, t=time.time()):     # ⚠️ t 在 def 时就固定了
    return f"{t:.0f} {msg}"

print(log("第一次"))
time.sleep(1)
print(log("一秒后"))              # 时间戳居然一样！

⚠️ 因为默认值只求值一次。想每次取当前时间，得用 t=None 再在函数里判断。
这就是下面那个坑的同一种病因。

9 ⚠️⚠️ 可变默认参数的坑（本阶段重点）

这是 Python 最著名的坑之一，几乎每个人都会踩。

def add_item(item, cart=[]):
    cart.append(item)
    return cart

print(add_item("苹果"))     # ['苹果']
print(add_item("香蕉"))     # ['苹果', '香蕉']   ← 意外！
print(add_item("橙子"))     # ['苹果', '香蕉', '橙子']  ← 越来越长！

明明每次只加了一个，为什么列表一直在累积？

9.1 为什么

因为 [] 这个默认值在 def 执行时就创建了一个列表对象，之后所有调用共用这一个。

回忆阶段 1 讲的：变量是标签。cart 这个标签一直贴在同一个列表上。
append 又是在原地修改（不新建对象），所以改动被保留了下来。

def show_default(lst=[]):
    print(f"id={id(lst)} 内容={lst}")
    lst.append(1)

show_default()      # id=...5280  内容=[]
show_default()      # id=...5280  内容=[1]   ← 同一个对象

两次的 id 完全一样 → 铁证：是同一个列表。

💡 为什么会这样设计：因为默认值只求值一次（上一节）。
对不可变的默认值（数字、字符串、None）没问题，反正改不了。
但可变的（列表、字典、集合）就出事了。

9.2 正确写法：用 `None` 当哨兵

def add_item(item, cart=None):
    if cart is None:
        cart = []          # ← 每次调用都新建一个
    cart.append(item)
    return cart

print([add_item(i) for i in ["苹果", "香蕉", "橙子"]])
# [['苹果'], ['香蕉'], ['橙子']]   ← 各自独立 ✓

为什么要用 None 而不是直接 cart=[] 再判断？原因是你判断不了。
如果默认值是 []，第一次调用时你怎么区分"用户没传"和"用户传了个空列表"?
None 是明确表示"没传"的哨兵值，和"空列表"区分得开。

⚠️ 什么时候要警惕：只要默认值是"可变的"，就要警觉。

默认值危险吗

def f(x=0)、def f(s="")、def f(b=None) ✅ 安全（不可变）

def f(lst=[])、def f(d={})、def f(s=set()) ⚠️ 危险

默认值	危险吗
`def f(x=0)`、`def f(s="")`、`def f(b=None)`	✅ 安全（不可变）
`def f(lst=[])`、`def f(d={})`、`def f(s=set())`	⚠️ 危险

9.3 那如果我就是想"记住上次的结果"呢？

那就明确地写出来，别靠默认值偷偷实现：

_cache = []                     # 明确声明：这是模块级共享状态

def add_item(item, cart=None):
    if cart is None:
        cart = _cache           # 想共享就共享——但要让读代码的人看见
    cart.append(item)
    return cart

💡 经验："意外的共享"是 bug，"显式的共享"是设计。
坑的可怕之处在于它没有报错，程序照跑，只是结果悄悄错了。

10 🔧 技能卡 5：给自己的函数写「检查用例」

技能卡 4 教你 assert。但 assert 检查什么，得你自己想。

这张卡讲一件区分"能跑"和"可信"的事：写完函数，自己给它出题。

10.1 什么叫检查用例

用"你已经知道答案的输入"去测函数。不用学 pytest，就用 assert：

def is_prime(n):
    if n < 2:
        return False
    for d in range(2, int(n ** 0.5) + 1):
        if n % d == 0:
            return False
    return True

# ---- 检查用例 ----
assert is_prime(2) == True      # 最小的素数
assert is_prime(1) == False     # 边界
assert is_prime(0) == False     # 边界
assert is_prime(9) == False     # 平方数
assert is_prime(97) == True     # 素数
print("全部通过")

10.2 该测哪几类输入（这个清单很值钱）

类型	例子	为什么
正常值	`is_prime(97)`	基本功能
边界值	`1`、`0`、空列表、`len==1`	bug 高发区
异常值	负数、`0`、`None`	看是崩溃还是合理处理
重复/极端	全相同元素、很大的数	隐藏假设

⚠️ 经验：边界值上出的 bug 比正常值多得多。
阶段 2 就提过"边界值是 bug 高发区"，这里是它的具体做法。

10.3 为什么这习惯值钱

科研代码和数据分析的代码，正确性没法靠"跑起来没报错"判断。

一个算错统计量的脚本，跑起来一样安安静静地输出一个数。
只有你预先知道正确答案（用小手算的例子、用已知结论），才能发现它错了。

💡 这就是"可复现研究"的起点：你的代码应该带一套自己会检查自己的用例。
别人（和三个月后的你）拿到代码，跑一遍就知道有没有坏。

10.4 一个让步：数值别用 `==`

阶段 1 讲过浮点数的坑。检查用例里比较浮点数要用容差：

import math

def my_sqrt(x):
    return x ** 0.5

assert math.isclose(my_sqrt(2), 1.41421356237, rel_tol=1e-9)
assert math.isclose(my_sqrt(4), 2.0)

⚠️ assert my_sqrt(2) == 1.41421356237 会失败，
浮点运算结果不是精确的那个数。用 math.isclose，别用 ==。

11 🧠 这跟认知科学有什么关系（编程侧）