阶段 02 讲义

数学 11h：高数 · 函数极限与连续
编程 9h：运算符与流程入门

第一部分 · 数学

1 函数极限：从数列到函数

数列极限看的是 $n \to \infty$。函数极限看的是 $x$ 趋近某个值。

记号：$\lim_{x\to x_0} f(x) = A$

直观：$x$ 靠近 $x_0$ 时，$f(x)$ 靠近 $A$。

⚠️ 关键点：$x \to x_0$ 时，我们不关心 $f(x_0)$ 等于什么，甚至 $f$ 在 $x_0$ 处可以没有定义。
关心的是"靠近的过程中"的趋势。

例子：$\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}$，在 $x=1$ 处无定义（分母为 0），
但 $\frac{x^2-1}{x-1} = x+1$（当 $x \ne 1$），所以极限是 2。

2 ε-δ 定义 ⭐

$\lim_{x\to x_0} f(x) = A$ 的定义：

对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得当

$$0 < |x - x_0| < \delta$$

时，恒有

$$|f(x) - A| < \varepsilon$$

逐字解读：

符号	含义
$0 < \lvert x-x_0\rvert$	$x$ 不等于 $x_0$（挖掉这一点）
$< \delta$	但 $x$ 要足够靠近 $x_0$
$\lvert f(x)-A\rvert < \varepsilon$	对应的函数值要足够靠近 $A$

和 ε-N 的对比：

	数列	函数
自变量趋近	$n \to \infty$（只有一边）	$x \to x_0$（左右两边）
控制自变量的	$N$（$n > N$）	$\delta$（$\lvert x-x_0\rvert < \delta$）

逻辑结构完全一样：挑战者给 ε，你回一个 δ（或 N）。

2.1 完整证明例子

证明 $\lim_{x\to 2}(3x-1) = 5$

分析（做题先分析，再写证明）：

$$|f(x) - A| = |(3x-1) - 5| = |3x - 6| = 3|x-2|$$

要让 $3|x-2| < \varepsilon$，只需 $|x-2| < \frac{\varepsilon}{3}$。

证明：

任取 $\varepsilon > 0$，取 $\delta = \frac{\varepsilon}{3}$。

当 $0 < |x-2| < \delta$ 时：

$$|(3x-1)-5| = 3|x-2| < 3\delta = 3 \cdot \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon \quad \checkmark$$

∎

套路：把 $|f(x)-A|$ 化成"常数 × |x-x_0|"的形式，然后让这个常数 × δ ≤ ε。

3 左右极限

左极限：$x$ 从左边趋近，记 $\lim_{x\to x_0^-} f(x)$
右极限：$x$ 从右边趋近，记 $\lim_{x\to x_0^+} f(x)$

重要定理：$\lim_{x\to x_0} f(x)$ 存在 ⟺ 左右极限都存在且相等

用于判断分段函数：

$$f(x) = \begin{cases} x+1, & x < 0 \\ x^2, & x \ge 0 \end{cases}$$

左极限：$\lim_{x\to0^-}(x+1) = 1$
右极限：$\lim_{x\to0^+}x^2 = 0$
左右不等 → 极限不存在

4 两个重要极限 ⭐

这两个必须背下来，考试和后续都要用：

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$$

$$\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e$$

第二个的变形（更常考）：

$$\lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}} = e$$

用法示例：

$$\lim_{x\to0}\frac{\sin 3x}{x} = \lim_{x\to0}\frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3 = 1 \cdot 3 = 3$$

技巧：凑成 $\frac{\sin \Box}{\Box}$ 的形式，其中 $\Box \to 0$。

5 无穷小与无穷大

无穷小：极限为 0 的量。
无穷大：绝对值无限增大的量（注意：无穷大不是数）。

无穷小的性质：
- 有限个无穷小之和仍是无穷小
- 有界函数 × 无穷小 = 无穷小 ← 很有用
- $\lim f(x) = A$ ⟺ $f(x) = A + \alpha$，其中 $\alpha$ 是无穷小

无穷小的比较（$\alpha, \beta$ 都趋于 0）：

关系	条件	记号
高阶	$\lim\frac{\alpha}{\beta}=0$	$\alpha = o(\beta)$
同阶	$\lim\frac{\alpha}{\beta}=c \ne 0$	无
等价	$\lim\frac{\alpha}{\beta}=1$	$\alpha \sim \beta$

常用等价无穷小（当 $x \to 0$），这个表要背。

$$\sin x \sim x, \quad \tan x \sim x, \quad \arcsin x \sim x$$
$$1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}, \quad \ln(1+x) \sim x, \quad e^x - 1 \sim x$$

💡 用法：在乘除中可以直接替换，能极大简化计算。
⚠️ 但在加减中不能随便换（可能出错）！

6 连续性

定义：$f$ 在 $x_0$ 连续 ⟺ $\lim_{x\to x_0}f(x) = f(x_0)$

即：极限存在 + 等于函数值。

三个条件：
1. $f(x_0)$ 有定义
2. $\lim_{x\to x_0}f(x)$ 存在
3. 两者相等

间断点分类：

类型	特征
可去间断点	左右极限存在且相等，但不等于函数值（或函数值不存在）
跳跃间断点	左右极限存在但不相等
无穷间断点	至少一侧趋于无穷
振荡间断点	如 $\sin\frac1x$ 在 $x=0$

前两类合称第一类间断点，后两类是第二类。

连续函数的性质：
- 连续函数的和差积商仍连续（分母不为 0）
- 初等函数在其定义域内连续
- 闭区间上连续函数：有界、有最大最小值、介值定理

6.1 介值定理与零点存在定理 ⭐

介值定理：$f$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $f$ 能取到 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间的一切值。

它的"实用版"是零点存在定理：

若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $f(a)$ 与 $f(b)$ 异号，
则在 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使 $f(\xi)=0$。

直觉：一笔画一条连续的线，从 $x$ 轴下方画到上方，必然穿过 $x$ 轴。绕不过去。

⚠️ "连续"这个前提不能少：$f$ 在 $[-1,1]$ 上若在 0 处断开（比如 $f(x)=1/x$，
在 0 无定义），就可以"跳"过去而不穿过。

为什么这个定理重要：它是二分法求根的理论基础。

不知道根在哪，但知道"一定存在"，那就把区间对半砍，看根在哪半边，反复进行。
这就是二分法：它不靠聪明，靠每次都能排除一半。

手算体验一下：求 $\sqrt2$ 的近似值，即求 $f(x)=x^2-2$ 的零点。
$f(1)=-1<0$，$f(2)=2>0$ → 根在 $(1,2)$
取中点 1.5：$f(1.5)=0.25>0$ → 根在 $(1,1.5)$
取中点 1.25：$f(1.25)=-0.4375<0$ → 根在 $(1.25,1.5)$
取中点 1.375：$f(1.375)=-0.109<0$ → 根在 $(1.375,1.5)$
……
每砍一次，区间长度减半。$\sqrt2=1.41421\dots$，就在这一串区间里。

这个思路你写循环时（阶段 3）就能让计算机替你砍，这是你的第一个"数值算法"。

7 数学作业 S2

[ ] 1. 用 ε-δ 语言证明 $\lim_{x\to 3}(2x+1) = 7$
[ ] 2. 求极限：$\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}$
[ ] 3. 求极限：$\lim_{x\to0}\frac{\sin 5x}{\sin 3x}$（提示：凑成两个 $\frac{\sin\Box}{\Box}$）
[ ] 4. 求极限：$\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{2}{x}\right)^x$（提示：凑成 $(1+\frac{1}{\Box})^\Box$ 的形式）
[ ] 5. 求极限：$\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}$（用等价无穷小）
[ ] 6. 判断 $f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$ 在 $x=2$ 处的间断点类型；若可去，如何补充定义使其连续？
[ ] 7. 求 $f(x)=\begin{cases} x^2, & x<1 \\ 2x-1, & x \ge 1\end{cases}$ 在 $x=1$ 处是否连续
[ ] 8.（手算）用二分法求 $f(x)=x^3-x-2$ 的零点，精确到 0.5 以内

提示：先找两个整数让 $f$ 异号，然后不断取中点、看符号换边。
不用写代码，用笔算，这一步是让你体会"每次排除一半"的威力。
[ ] 9.（Python）用 numpy 数值检验 $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$

第 8 题参考代码：

import numpy as np

for x in [0.1, 0.01, 0.001, 0.0001]:
    print(f"x={x:<8} sin(x)/x = {np.sin(x)/x:.10f}")

# 注意：别直接算 x=0！那会是 0/0

你会看到数值越来越接近 1，但永远不等于 1。
⚠️ x 越小，浮点误差越大。这也是数值计算的一个真实陷阱。

补充：可以试试直接算 np.sin(0)/0，看看会发生什么（会有警告，结果是 nan）。

第二部分 · 编程

8 算术运算符

运算符	含义	例子	结果
`+`	加	`7 + 2`	`9`
`-`	减	`7 - 2`	`5`
`*`	乘	`7 * 2`	`14`
`/`	除（总是浮点）	`7 / 2`	`3.5`
`//`	整除（向下取整）	`7 // 2`	`3`
`%`	取余	`7 % 2`	`1`
`**`	幂	`7 ** 2`	`49`

⚠️ 三个最容易搞错的：
- / 永远返回浮点数，4 / 2 得到 2.0 不是 2
- // 是向下取整，负数时要注意：-7 // 2 得到 -4（不是 -3）
- % 的结果符号跟除数走：-7 % 2 得到 1

print(7 / 2)      # 3.5
print(7 // 2)     # 3
print(-7 // 2)    # -4   ← 不是 -3！
print(-7 % 2)     # 1
print(2 ** 10)    # 1024

整除和取余的经典用途是数位拆分。

num = 365
print(num // 100)      # 3   百位
print(num % 10)        # 5   个位
print((num // 10) % 10)  # 6   十位

9 比较运算符

运算符	含义
`==`	等于
`!=`	不等于
`>` `<`	大于 / 小于
`>=` `<=`	大于等于 / 小于等于

结果永远是布尔值（True / False）：

print(5 > 3)      # True
print(5 == 5.0)   # True    （值相等）
print("a" == "A") # False   （区分大小写）

⚠️ == 和 = 完全不同：
- = 是赋值（贴标签）
- == 是比较（问"相等吗"）

这是初学者最常见的笔误。

10 逻辑运算符

运算符	含义	例子
`and`	与（都真才真）	`True and False` → `False`
`or`	或（有真就真）	`True or False` → `True`
`not`	非（取反）	`not True` → `False`

短路求值（重要）：

# and：左边为假，右边不计算
result = False and (1/0)    # 不会报错！因为左边已经是 False

# or：左边为真，右边不计算
result = True or (1/0)      # 也不会报错

实用技巧：x = value or default，如果 value 是假的（空、0、None），就用默认值。

11 条件语句

score = 85

if score >= 90:
    print("A")
elif score >= 80:
    print("B")
elif score >= 70:
    print("C")
else:
    print("D")

结构说明：
- if 必须
- elif（else if）可有多个
- else 可选，放最后
- 每个条件后面有冒号 :
- 缩进表示"属于哪个分支"

嵌套：

age = 20
has_id = True

if age >= 18:
    if has_id:
        print("可以进入")
    else:
        print("需要证件")
else:
    print("未成年")

用 and 简化（更清晰）：

if age >= 18 and has_id:
    print("可以进入")

💡 经验：嵌套超过两层就该想办法简化了（用 and/or，或拆成函数）。

12 布尔值的"真值"

哪些东西是"假"的：

# 下面这些都会被当作 False
False
None
0
0.0
""        # 空字符串
[]        # 空列表
{}        # 空字典

其他都是 True：

if "hello":         # 非空字符串 → True
    print("真")

if []:              # 空列表 → False，这里的代码不执行
    print("不会打印")

💡 实用：判断列表非空可以写 if my_list: 而不是 if len(my_list) > 0:

13 `in` 运算符

print("a" in "cat")        # True    子串
print("z" in "cat")        # False
print(3 in [1, 2, 3])      # True    列表成员
print(5 not in [1, 2, 3])  # True

14 🔧 技能卡 2：自己找答案（`help()` 和 `dir()`）

技能卡 1 教的是"代码错了怎么办"，这张卡教的是"我忘了怎么用怎么办"。

自学最大的瓶颈不是不会，是不会的时候不知道去哪问。Python 把答案装在里面了。

14.1 `help()`：查任何东西怎么用

help(print)
help(str)
help(str.split)      # 查字符串的某一个方法

它会打印出说明书：这个函数要什么参数、干什么、怎么用。

14.2 `dir()`：看一个东西有哪些本事

s = "hello"
print(dir(s))
# ['capitalize', 'casefold', 'center', 'count', 'encode', 'endswith', ...]

一长串名字就是字符串所有能用的方法。看到不认识的（比如 startswith），
就 help(s.startswith) 查一下。

print("hello.py".startswith("hello"))   # True
print("hello.py".endswith(".py"))       # True

💡 实用：想知道"字符串能不能做某件事"，先 dir() 看一眼名字里有没有相关的。

14.3 三条自学的路

遇到什么	去哪
忘了某个函数怎么用	`help(函数名)`
想知道某类型有哪些方法	`dir(对象)`，再 `help()` 细看
不确定某行为的细节	官方文档 `docs.python.org/zh-cn/3/`（有中文版）

⚠️ 一个坑：dir() 的输出包含以 __ 开头结尾的（如 __doc__、__class__）。
那些是 Python 内部用的，你现在不用管，看没有下划线开头的那些就行。

💡 心态：没人记得住所有方法。专业程序员也是天天查 help() 和文档。
"会查"比"记得住"重要得多。

15 🧠 这跟认知科学有什么关系

概念性内容，无法用代码验证，请对照文献。

if / elif / else ↔ 认知架构里的「产生式规则」。

认知科学里有一类理论认为，人的认知过程可以被建模成一大堆"条件 → 动作"规则。
比如 ACT-R、Soar 这些认知架构，核心机制就是：

如果 目标是解方程 且 方程是二次的
则   使用求根公式

这就是 if ... : ...。你在这一节学的条件语句，正是这些模型写出来的样子。

短路求值 ↔ 加工的"提前终止"。

False and (1/0) 不报错，因为左边为假时右边根本不计算。
认知里有没有类似现象？有研究认为某些加工会提前中止，但这个类比比较松，
我不建议你把它当结论用。举它只是想让你知道，短路是普遍的计算策略，
不是 Python 的怪癖。

布尔逻辑 ↔ 信号检测论（SDT）的 2×2 决策矩阵。

这个是扎实的。信号检测论里，每次判断有两种事实（有信号 / 无信号）和两种反应（说有 / 说无），
组合出四种结果：

	实际有信号	实际无信号
报告"有"	命中 (Hit)	虚报 (False Alarm)
报告"无"	漏报 (Miss)	正确拒绝 (Correct Rejection)

这本质上就是真值表。而你把"判定标准"写成一个条件判断时，
就是在实现 SDT 里的判断标准（criterion）：

# 下面是伪代码（示意结构，不能直接跑）
if 证据强度 >= 判断标准:
    报告("有信号")     # 可能是命中，也可能是虚报——取决于真相
else:
    报告("无信号")     # 可能是正确拒绝，也可能是漏报

这段对应关系是真的，你在实验心理学/认知心理学课上会正式学到 SDT。
到时候回头看这行 if，会觉得"原来我早写过"。

等价无穷小 ↔ 认知建模里的线性近似。

认知模型经常把非线性关系在小范围内近似成线性（"在阈限附近，感觉强度≈刺激强度×常数"），
这正是等价无穷小做的事，在小范围内，复杂的东西可以用简单的东西代替。

⚠️ 再提醒一次：上面 SDT 那条对应关系是真的（它是实验心理学的标准内容），
但"短路求值 ↔ 提前终止"那条只是松散的类比。
数学我能保证；类比能不能用，得回到文献。

16 编程作业 S2

[ ] 1. 写程序：输入三个数，输出最大值

提示：可以先假设第一个最大，再依次比较；或用 max() 验证你的结果
[ ] 2. 用 f-string 格式化输出一个表格，3 行数据（姓名、年龄）对齐
[ ] 3. 输入身高（米）和体重（公斤），计算 BMI 并判断：

BMI = 体重 / 身高² ｜ < 18.5 偏瘦｜ 18.5–24 正常｜ 24–28 超重｜ ≥28 肥胖
[ ] 4. 输入一个年份，判断是否为闰年

规则：能被 4 整除但不能被 100 整除，或能被 400 整除
[ ] 5. 输入一个整数，判断它是奇数还是偶数、是正数还是负数

第 4 题参考框架（先自己写）：

year = int(input("输入年份："))

if (year % 4 == 0 and year % 100 != 0) or (year % 400 == 0):
    print(f"{year} 是闰年")
else:
    print(f"{year} 不是闰年")

第 3 题提示：

height = float(input("身高（米）："))
weight = float(input("体重（公斤）："))
bmi = weight / height ** 2
print(f"你的 BMI 是 {bmi:.1f}")

if bmi < 18.5:
    print("偏瘦")
elif bmi < 24:
    print("正常")
elif bmi < 28:
    print("超重")
else:
    print("肥胖")

自测：把 bmi 手动设成 18.5、24、28 这几个边界值，看判断对不对。
边界值是 bug 高发区，这是编程的一条经验。

本阶段自评

数学：ε-δ 和 ε-N 的区别在哪？（提示：自变量的趋近方式）
数学：你会用等价无穷小简化 $\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}$ 吗？
数学：零点存在定理要求什么前提？为什么连续不能少？
数学：二分法每砍一次，能保证什么？（一句话）
编程：7 // 2 和 7 % 2 分别是多少？-7 // 2 呢？
编程：if my_list: 和 if my_list != []: 有什么区别？
技能：你忘了 split 怎么用，第一件事该做什么？
连接：SDT 的"命中/虚报/漏报/正确拒绝"和真值表是什么关系？

全部答得上 → 进阶段 3。