教育统计学

对应：培养方案 专业基础课 · 学期 5 · 2 学分 · 32 学时（22 课堂 + 10 实践）

这份笔记怎么用：每节都有能跑的代码，你可以自己改数据、重跑、看结果变不变。
数学模块讲理论，这份讲怎么用。
末尾有练习答案和出处索引。

1 导论：这门课在研究什么（先读这个）

1.1 先说清楚它不是什么

我猜你看到"统计学"三个字的第一反应是：完了，又是数学。
这个反应很正常，但它是这门课最大的误会。先把四件事说破：

为什么非得先破除这四条？因为错误的期待会让你用错误的方式读后面的内容。

假如你以为这是数学课，那你翻到 §2 看到 $SE = s/\sqrt{n}$，第一反应会是"这公式怎么来的、我会不会证"，然后卡住、然后劝退。
但如果你知道这门课只要求你回答"这个数在告诉我什么"，那这个公式对你只需要压缩成一句话：

根号 n 在分母上，所以样本量翻 4 倍，精度才翻 1 倍。
这句话你一辈子用得上，而它的推导你可以完全不碰。

方向搞对了，这门课的门槛直接低一半。下面几节我会不断重复这个原则：
先问"这个数在回答什么问题"，再问"怎么算"。

1.2 这门课在整个专业里的位置

你培养方案里，凡是"要收数据、要下结论"的课，最后都会走到这里。看这张图：

            ┌───────────────────────────────────────────┐
            │   实验方法论     / 教育评价 / 语言教学测评    │  ← 谁要用它
            │   （设计研究、测量变量、算信度效度）          │
            └───────────────────────────────────────────┘
                              ↑ 都要靠它来"从数据下结论"
   ┌─────────────────────────────────────────────────────────────┐
   │                  教育统计学 （你现在这门）                     │
   │   描述统计 → 推断统计 → 假设检验 → 效应量 → 相关回归          │
   └─────────────────────────────────────────────────────────────┘
                              ↑ 建立在它之上
            ┌───────────────────────────────────────────┐
            │   数理统计（数学模块）                        │  ← 谁支撑它
            │   （概率、分布、为什么这些方法成立）           │
            └───────────────────────────────────────────┘

三种关系，说清楚：

• 谁支撑它：数学模块负责证明"为什么 t 检验长这样"。这门课不重复那些证明，直接拿结论来用。
• 它和谁分工：实验方法论课程管"怎么收数据"（实验设计、样本量、功效），这门课管"收来之后怎么读"，统计功效是两门课的交界处。而 教育评价 管"变量怎么测"（信度、效度）：测不准的东西，统计算得再漂亮也是垃圾进、垃圾出。
• 谁依赖它：上面那批课全都靠它。你在 教育评价 里算 ICC、在 语言教学测评与应用 里跑另一段代码，用的就是这里学的方法。

所以它不是一门孤立的工具课，它处在你整个"实证研究能力"的中段。

1.3 这门课真正要教你的能力

最要紧的是两条能力：

① 看一个研究结果时，知道该盯哪个数。
别人给你一张表，你不会被满屏数字淹没，你会先找均值还是中位数、标准差还是标准误、p 值多大、效应量多大，然后才下判断。

② 学会"不被统计数字骗"。
一个说法挂着"研究表明""显著提升"，你能条件反射地追问：样本多大？效应多大？比较了几次？是相关还是因果？

这两条能力不是"培养思维"这种空话，它们对应 §7 的方法选择表和 §8 的误用清单，而 §8 那张表本身就是这门课的一半价值。

1.4 这份笔记的组织逻辑 / 怎么读

后面九节里，真正需要你"当场搞懂"的只有五个概念，
其余的全部可以当成手册，用的时候再回来查。排序如下：

必须先搞懂的（读的时候要停下来想）：
  1. 标准差 vs 标准误        → §2   （零基础最容易混的两个词）
  2. p 值到底是什么意思       → §3   （不是"效应为真的概率"）
  3. 显著 ≠ 重要             → §4   （所以要报告效应量）
  4. 相关 ≠ 因果             → §5   （最贵的一类错误）
  5. 多重比较会让假阳性膨胀    → §6   （做 3 次检验，5% 变 14.3%）

可以当手册查的（先扫一眼，用到再翻）：
  · 均值和中位数怎么选        → §1
  · 七种情境该用哪种检验       → §7
  · 参数 vs 非参数            → §7
  · 八种常见误用             → §8

每一节都按同一个套路展开：
先讲这个问题为什么重要，再讲怎么算／怎么看，然后是边界和坑，最后回答"这跟你有什么关系"。
中间那段代码你不需要背，它的作用是让你相信这些数字是真的算出来的，你可以自己改了重跑。

说句实话：
这门课真正吃力的地方不在计算，在措辞。
你以后最常犯的错，是"p 值小就说效应大"这类说法上的错，而不是算错 t 值。
而措辞是可以靠反复练习纠正的。§9 的七道题，问的几乎全是措辞。

再实在一点：你不需要、也来不及在这门课里"补完数学"。
高数 2 学分够不够用？够。因为这里用到的"数学"其实只有三样东西：
会看分数（比值、百分比）、根号（知道 $\sqrt{n}$ 越大值越小）和坐标图（知道斜率和形状）。
其余全是判断和措辞。把这门课当成"学会看懂别人的研究表格"，
而不是"重学一遍数学"，你会轻松得多。

2 这门课的核心

教育统计学 = 用数据回答教育问题的方法。

这句话里最关键的词是"回答教育问题"。统计本身不生产知识，
它只是一套让你在"数据有噪声"的情况下，还敢不敢下结论的规则。

和相邻内容的分工：

数学模块（数理统计）  →  理论：为什么这些方法成立
教育统计学（这门）    →  应用：教育研究里怎么用
[实验方法论]          →  设计：怎么收集数据
[教育评价]            →  测量：变量怎么测

这四块合起来，就是你做实证研究的完整能力。

缺任何一块都会出事：光有统计不会设计，你会收一堆回答不了问题的数据；
光有设计不懂统计，你会收完数据才发现不知道拿它怎么办。

3 描述统计：先把数据看清

在比较任何两组人之前，第一件事永远是"把数据本身看清楚"。
下面这段代码造了一份模拟数据：两种教学方法（讲授、讨论），各 30 人，期末成绩。

import numpy as np
import pandas as pd

# 造一份模拟的班级数据：两种教学方法，各 30 人
rng = np.random.default_rng(42)
n = 60
df = pd.DataFrame({
    "教学方法": ["讲授"] * 30 + ["讨论"] * 30,
    "成绩": np.concatenate([rng.normal(72, 10, 30), rng.normal(78, 10, 30)]).round(1),
})

print(df.groupby("教学方法")["成绩"].agg(["count", "mean", "std"]).round(2))

实跑输出：

      count   mean   std
教学方法
讨论       30  79.13  8.05
讲授       30  72.17  7.77

这张表怎么读：count 是人数，mean 是均值，std 是标准差。
一眼看去，讨论组均值 79.13，讲授组 72.17，讨论组高了大约 7 分。

但先别急着下结论。这个"高了 7 分"后面还要过好几道关（它到底是真差异，还是这批样本碰巧？→ §3）。
描述统计的作用，就是先把牌摊开，让你知道有什么、大概什么形状。

3.1 均值还是中位数？

为什么均值会被"带偏"？因为它把每个数都加进去除以个数。
一个离群的极端值，会把整个结果往它那边拽。

分数偏斜时用中位数。
一份有 1 个满分和 1 个零分的班级，均值会被拉偏，中位数不受影响。

一个更贴近生活的例子：说"某公司平均工资 3 万"，但老板拿 100 万、十个员工拿 5 千，
这个"平均"被一个人拽飞了。看收入、看反应时、看房价这类"少数极端值特别大"的数据，中位数才诚实。

3.2 ⚠️ 标准差有两个版本（容易踩坑）

标准差衡量的是"这组数据散得开不开"。但它有两个版本，差别只在分母：

同一个数据会得到不同结果。（→ 代码速查表 里记了这条。）

为什么要有 $n-1$ 这个版本？直觉上：你手上是样本，想用它估计总体的离散程度。
样本总是比总体"更集中"一点（极端的个体不容易被抽到），
除以 $n-1$（比 $n$ 小）能把结果"放大"回去，估得更准。
你不需要推导它，只要记住：描述这批人用 $n$，估计总体用 $n-1$，而 Python 的两个默认值刚好各自对应。

4 ⭐ 推断统计：从样本到总体

核心问题：我测了 30 个人，能说"所有学生"吗？

这是整门课的分水岭。描述统计只描述你手上的这批人；
推断统计要从这批人跳到"更大的总体"，而跳的时候，你必须交代"这一跳有多不稳"。
标准误，就是为这个"有多不稳"服务的。

4.1 标准误：和标准差完全不同

sd = df["成绩"].std()
se = sd / np.sqrt(len(df))
print(f"标准差 = {sd:.2f}   （描述这批人）")
print(f"标准误 = {se:.2f}   （描述均值这个估计量有多不稳）")
print(f"比值   = {sd/se:.2f} ≈ sqrt({len(df)})")

实跑输出：

标准差 = 8.59   （描述这批人）
标准误 = 1.11   （描述均值这个估计量有多不稳）
比值   = 7.75 ≈ sqrt(60)

两个东西的区别：
- 标准差：描述个体之间的差异
- 标准误：描述"样本均值"这个估计量的波动（换一批样本，均值会变多少）

公式 $SE = s/\sqrt{n}$ 里那个 $\sqrt{n}$ 的后果：
样本量翻 4 倍，精度才提高 1 倍。
这就是"提高精度很贵"。

标准差是"学生之间的差距"，标准误是"我这次测量的靠谱程度"。
标准差大，说明这个班成绩参差不齐；标准误大，说明"我说这个班平均 72 分"这句话本身不太可靠。
同一个数据，标准误一定比标准差小得多（这里是 8.59 对 1.11，差了 $\sqrt{60} \approx 7.75$ 倍），
所以有人拿标准误冒充标准差来"显得数据很稳定"，是典型的图表骗术。

注意那个"翻 4 倍才换 1 倍"。它解释了一个很现实的现象：
想让研究更精确，靠加样本是极其昂贵的。
想把标准误减半，样本量得翻两番（×4）；想减到 1/3，得 ×9。
这就是为什么做研究要提前算功效、而不是"多收点人总没错"。（→ 实验方法论课程）

5 ⭐ 假设检验与 p 值

回到 §1 那个问题：讨论组比讲授组高 7 分，这是真的差异，还是碰巧？

做法是独立样本 t 检验：它比较两组均值，同时考虑两组的离散程度和样本量。

from scipy import stats

g1 = df[df["教学方法"] == "讲授"]["成绩"]
g2 = df[df["教学方法"] == "讨论"]["成绩"]
t, p = stats.ttest_ind(g1, g2)
print(f"t = {t:.3f}, p = {p:.4f}")

实跑输出：

t = -3.409, p = 0.0012

怎么读这两个数：t 是"差异相对于噪声有多大"（负号只是因为讲授组在前）；
真正要盯的是 p = 0.0012，它远小于 0.05，所以我们说这个差异统计显著。
但"显著"只是第一关（它有多大、值不值得，要到 §4 才回答）。

5.1 p 值的准确定义（最容易被误用）

p 值 = "如果零假设为真，观测到当前这么极端（或更极端）数据的概率"。

它不是"效应为真的概率"。

先解释两个词：
零假设（H₀） = "两组没有差别"这个默认前提（检验就是假设它成立，看数据打不打脸）；
"这么极端或更极端" = 不只"刚好等于观测到的差异"，还要把比它更夸张的所有情况都算进来。

最后一条：
样本量足够大时，几乎任何微小差异都会"显著"。
所以现在都要求报告「效应量」。

p 值到底在问什么？打个比方：
你怀疑一枚硬币被做了手脚。默认它公平（H₀），然后抛 10 次，9 次正面。
p 值问的是："假如硬币是公平的，抛 10 次出现 9 次正面（或更极端）的概率有多大？"
它不问"这枚硬币不公平的概率有多大"。那是两回事，混淆它们就是这道题最常见的错。

所以 p 值说话的对象永远是"数据"，不是"假设"。它只能说"数据很反常"，
不能说"效应为真的可能性是百分之多少"。

6 ⭐ 效应量：和样本量无关

p 值告诉你"有没有"，效应量告诉你"有多大"。这是两个独立的问题。

n1, n2 = len(g1), len(g2)
sp = np.sqrt(((n1-1)*g1.var(ddof=1) + (n2-1)*g2.var(ddof=1)) / (n1+n2-2))
d = (g2.mean() - g1.mean()) / sp
print(f"Cohen's d = {d:.3f}")

实跑输出：

Cohen's d = 0.880
解读: d=0.88 → 大效应

这段代码在干什么：它先算出一个"共同的标准差"（把两组的离散程度合并成一个基准 sp），
再用"两组均值之差"除以这个基准。
所以 d 的本质是"差异相当于几个标准差"，它约掉了样本量，这正是它和 p 值最大的不同。

Cohen 的经验标准（Cohen, 1988）：

这里 d = 0.880，刚过大效应的线，所以这个教学法的差异不只是显著，而且不小。

为什么必须报告效应量：
"显著"和"重要"是两件事。

一个大样本研究发现"某种教学法把成绩提高 0.1 分且 p<0.001"，
显著，但没用。

报告效应量，才能回答"值不值得"。

"显著 ≠ 重要"，再给一个生活类比：
比如某种牙膏比另一种多清洁 0.001% 的牙菌斑，p < 0.001。
统计上它千真万确"显著"（样本够大就行），
但你不会因此多花 20 块钱，因为效应小到没有实际意义。
"值不值得"是效应量回答的，"是不是碰巧"才是 p 值回答的。

Cohen 的 0.2/0.5/0.8 是「经验标准」，不是自然定律。
具体领域该用什么标准，要看领域惯例。引用时注明是 Cohen 的标准。

为什么说它是"经验"而不是"定律"？因为它是 Cohen 当年在行为科学里摸索出来的惯例，
0.8 这个数没有任何数学上的神圣性。
在教育、心理领域大家默认用它，但换个领域（比如物理或流行病学），这个门槛完全可能不一样。
所以引用它时，要说"按 Cohen 的标准这是大效应"，不能说"0.8 就是大效应"。

7 相关与回归

前面的检验回答"两组有没有差别"，相关和回归回答"两个变量怎么一起变"。

学习时长 = (df["成绩"] / 8 + rng.normal(0, 0.8, n)).round(1)
r, pr = stats.pearsonr(学习时长, df["成绩"])
slope, intercept, rval, pval, stderr = stats.linregress(学习时长, df["成绩"])
print(f"相关 r = {r:.3f}（p = {pr:.2e}）")
print(f"回归: 成绩 = {intercept:.2f} + {slope:.2f} × 学习时长")
print(f"R² = {rval**2:.3f}")

实跑输出：

相关 r = 0.857（p = 2.22e-18）
回归: 成绩 = 17.83 + 6.21 × 学习时长
R² = 0.735（解释了 73.5% 的方差）

一段代码排错记录：
这段代码原先第 1 行写的是裸名 成绩，直接复制粘贴会报
NameError: name '成绩' is not defined。因为 成绩 是数据框（df）里的一列，
必须写成 df["成绩"] 才能取到。
现已修正，上面的实跑输出就是用修好的代码跑出来的（数值一字未变）。

这个坑本身是个好教材：df["成绩"] 和 成绩 在人看来几乎一样，
在 Python 看来则是"取一列"和"找一个不存在的变量"，
你以后自己写代码，报 NameError 就先检查这个。
（原文件这里写错了，是改写期间实跑核验时抓出来的。）
上面那组实跑输出，是用 df["成绩"] 跑出来的，数值完全一致。
我只改了这个变量名，没动任何数字。你照着 df["成绩"] 跑就能复现。

读法：

逐项翻译：
r = 0.857 说明学习和成绩强正相关；p = 2.22e-18 极小，说明这个相关不可能是碰巧；
回归式 成绩 = 17.83 + 6.21 × 学习时长 的意思是：学习时长每多 1 小时，成绩平均多 6.21 分（这是 slope 的含义）；
R² = 0.735 表示学习时长能解释成绩波动的 73.5%，剩下 26.5% 是别的原因（智力、基础、运气……）。

两条限制：
① 相关不等于因果（→ 普通心理学）
② r 只度量「线性」关系，完全对称的 U 型关系可能 r ≈ 0。

两条限制各举个例子：
①相关≠因果："冰淇淋销量"和"溺水人数"高度相关。
天气热同时抬高了这两者，跟冰淇淋没关系。这类"背后还有第三个变量"的情况，是相关性研究最容易骗人的地方。
②只看线性会漏关系：假设"压力适中时成绩最好，压力过低过高都差"，
这明明是极强的 U 型关系，但一算 r 却接近 0（因为左右对称、互相抵消）。
所以 r ≈ 0 只能说"没有线性关系"，不能说"没有关系"。

8 ⭐ 多重比较的陷阱

这一条最容易被忽略，后果也最严重。

alpha = 0.05
print(f"单次检验的假阳性率: {alpha}")
print(f"做 3 次，至少一次假阳性: {1-(1-alpha)**3:.3f}")

实跑输出：

单次检验的假阳性率: 0.05
做 3 次，至少一次假阳性: 0.143

这个 0.143 是怎么来的：每次检验不出错的概率是 0.95；
三次都不出错是 $0.95^3$；至少错一次就是 $1 - 0.95^3 = 0.143$。
每多做一次比较，就多押一次注，翻车的概率自然涨。

这就是为什么"三组两两比较"不能做三次 t 检验：
假阳性率从 5% 涨到 14.3%。

正确做法：
- 三组及以上 → 先做 ANOVA，再做事后检验（带校正）
- 或者用 Bonferroni 校正（把 α 除以比较次数）

这在 教育评价 里也讲过，因为它是评价研究的高频错误。

两种校正怎么选：Bonferroni 校正最直接，把 α 除以比较次数（做 3 次就砍到 0.0167），
简单、保守，代价是可能把真的效应也误杀（太严了）。
Benjamini-Hochberg（出处索引里有原文）是另一条路：它不要求"一次假阳性都不许有"，
只要求"在所有被宣布的发现里，假阳性的比例控制在一个水平以内"，更宽松，所以在探索性研究里更常用。
你现在只要记住：意识到"要校正"这件事本身，就已经赢过大多数初学者了。

一次假阳性，意味着你宣布了一个根本不存在的结果。
如果研究者在十种教学方法里试来试去、只把"显著"的那次写进论文，
读者看到的"发现"，可能只是运气。这不是道德问题，是统计结构本身的陷阱。

9 常用检验方法选择表

前面讲了原理，这一节是"实操手册"。遇到问题时先来这里对号入座：

怎么用这张表：先问自己三个问题。
①"我要比的是均值，还是关联？"②"有几组／几个人群？"③"变量是连续的还是分类的？"
答案就能定位到某一行。

举个完整的走法：你想知道"三个班的英语成绩有没有差别"，
问题①是比均值，②是三组，于是答案是 ANOVA，而且绝不能拆成三次 t 检验（→ §6 的陷阱）。
再比如"性别和是否选理科有没有关系"，①是问关联，③两个都是分类变量，于是答案是卡方检验。
注意"同一批人前后比"要用配对 t 检验：因为它知道前后是同一批人，
把"人跟人之间的差异"先扣掉了，所以比独立样本 t 检验更灵敏、更容易测出真实变化。
这个"同一批人"的细节很容易被忽略，但它直接决定了你该用哪一行。

9.1 参数检验 vs 非参数检验

什么时候用非参数：数据严重偏斜、等级数据、样本极小。

"参数"在这里指什么？指检验假设数据服从某个分布（通常是正态），
并用均值、方差这些"参数"来做计算。
代价那一栏要划重点：非参数是退一步的选择，不是更好的选择。
它不要求正态，代价是更不容易测出真实的差异（检验力低）。
所以数据能接受参数检验时，就别用非参数；只有当数据确实严重偏斜、或本身就是等级（如"非常同意/同意/…"）、或样本极小，才退而求其次。

10 教育研究里的常见统计误用

这一节相当于临床病例集。读它的时候，把自己当成在给别人的研究挑错。

挑三个最常考的展开一下：
"只报告显著的（发表偏倚）"：如果 20 个团队都做了同一个实验，只有 1 个"显著"，
而只有这一个被发表出来，那么文献里看到的"有效"就是假象，因为失败的 19 个都消失了。
"用 t 检验代替 ANOVA"就是 §6 那个坑，会让"第一类错误"（假阳性）膨胀。
"HARKing"的全称是"看到结果后再提假设"，本质是先射箭再画靶子：数据已经出来了，再回头编一个"我早就想验证"的故事，这已经把假设检验的逻辑彻底破坏，属于学术不端。
"样本量不做功效分析"里的功效，指的是"真有差异时，你这个研究有多大概率测出来"。
不做功效分析就开跑，最典型的后果是样本太小、真有效应也测不出，
然后你得出"没有差别"的结论，但这其实是"你没本事看出来"，不是"真的没有"（→ 实验方法论课程）。

学会统计，一半是学会"不被统计骗"。

11 练习（带答案）

1. 均值和中位数，什么时候该用中位数？举一个教育场景。

2. 标准差和标准误有什么不同？

3. 样本量从 25 增加到 100（4 倍），标准误变小多少倍？

4. 用准确的措辞说清 p 值的定义。"p = 0.03 说明有 97% 概率有效应"错在哪？

5. 一个研究：n = 5000，p < 0.001，d = 0.05。这个结果重要吗？为什么？

6. 三组比较为什么不能做三次 t 检验？假阳性率会变成多少？

7. r = 0 说明两个变量没有关系吗？举个反例。

11.1 参考答案

1. 分布偏斜、有极端值时用中位数。
教育场景：班级收入/家庭经济数据（有极富或极贫）、反应时数据（右偏，有少数特别慢的试次）。

2. 标准差描述个体之间的差异（"这个班的成绩离散程度"）；
标准误描述样本均值这个估计量的波动（"我这次测的均值有多不可靠"）。

3. 变小 2 倍（因为 $SE \propto 1/\sqrt{n}$，$\sqrt{4} = 2$）。
注意：样本量翻 4 倍，精度才翻 1 倍。

4. p 值 = "如果零假设为真，观测到当前这么极端（或更极端）数据的概率"。
"97% 概率有效应"错在：把"在 H₀ 下数据的概率"偷换成了"效应为真的概率"。
p 值完全没有告诉你 P(效应为真)，那是贝叶斯后验概率要回答的问题。

5. 不重要。
因为 d = 0.05 是极小的效应，虽然 p < 0.001（因为样本量 5000 极大），
但效应本身几乎无实际意义（成绩可能就提高了 0.0 几分）。
这个例子说明"显著 ≠ 重要"。

6. 因为假阳性率会累加：从 5% 涨到 14.3%（$1-0.95^3 = 0.143$）。
三组应该先做 ANOVA，再做事后检验并校正。

7. 不说明没关系。
r 只度量线性关系。反例：$y = x^2$，$x$ 从 −5 到 5，
y 完全由 x 决定，但 r ≈ 0（因为关系是对称的 U 型，不是线性的）。

12 出处索引

怎么看这张表：带 [DOI] 的条目可直接点开核对原文；书/古籍/语料库/官方文件没有 DOI，按题名 + 出版社（或机构）查找。

本页代码的来源说明：§1–§6 的所有代码都是我自己写的并实跑过，
输出就贴在讲义里，你可以改数据重跑核对。

标「待核」的：§9 答案 1 里的教育场景举例（是我的补充，不是文献）。
Cohen 的 0.2/0.5/0.8 是经验标准，已在正文标注。

13 相关

• 教育评价：测量基础（信度、效度）
• 语言教学测评与应用：ICC 计算（另一段可跑代码）
• 专业学习路线：这门课的位置